【思维题】B024_LC_N 天后的牢房（状态压缩 + 循环节）

一、Problem

8 间牢房排成一排，每间牢房不是有人住就是空着。每天，无论牢房是被占用或空置，都会根据以下规则进行更改：

如果一间牢房的两个相邻的房间都被占用或都是空的，那么该牢房就会被占用。
否则，它就会被空置。
（请注意，由于监狱中的牢房排成一行，所以行中的第一个和最后一个房间无法有两个相邻的房间。）

我们用以下方式描述监狱的当前状态：如果第 i 间牢房被占用，则 cell[i]==1，否则 cell[i]==0。

根据监狱的初始状态，在 N 天后返回监狱的状况（和上述 N 种变化）。

输入：cells = [0,1,0,1,1,0,0,1], N = 7
输出：[0,0,1,1,0,0,0,0]
解释：
下表概述了监狱每天的状况：
Day 0: [0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1]
Day 1: [0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
Day 2: [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0]
Day 3: [0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0]
Day 4: [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]
Day 5: [0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0]
Day 6: [0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0]
Day 7: [0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0]

示例 2：
输入：cells = [1,0,0,1,0,0,1,0], N = 1000000000
输出：[0,0,1,1,1,1,1,0]

提示：

cells.length == 8
cells[i] 的值为 0 或 1
1 <= N <= 10^9

二、Solution

方法一：状态压缩 + 循环节

N 很大，模拟会超时的，这种题要有解的话，一定存在循环节，这里用一个 map 存储状态与天数的映射

当某一个状态在 D1 出现过，且在后面的天数 D2 也出现了的话，就存在一个大小为 D1-D2 的循环节，D 可对循环节进行取模，进而缩小循环次数

class Solution {
public:
	int nextState(int st) {
		int nst = 0;
		for (int i = 1; i <= 6; i++) {
			if (((st>>(i-1))&1) == ((st>>(i+1))&1))
				nst |= 1 << i;
		}
		return nst;
	}
    vector<int> prisonAfterNDays(vector<int>& A, int D) {
    	int n = A.size(), st = 0; vector<int> ans(n, 0);
    	unordered_map<int, int> m;
    	for (int i = 0; i < n; i++) if (A[i])
    		st |= (1 << i);

    	while (D) {
    		if (m.count(st))
    			D %= m[st]-D;
    		m[st] = D;
    		if (D >= 1) D--, st = nextState(st);
    	}
    	for (int i = 0; i < n; i++) if ((st >> i) & 1) 
    		ans[i] = 1;
    	return ans;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(循环节大小)$，
• 空间复杂度：$O(n)$，