【CCPC-Wannafly Winter Camp Day3 Div2 F 小清新数论】（莫比乌斯反演）

因为是第一次做出这种题，所以写个题解纪念一下。

题目描述

 

这是一道比较基础的数论题。

给出一个整数 n，计算。

其中 gcd(i,j) 表示 i,j 的最大公约数， 表示莫比乌斯函数，它的一个等价定义是 ，当  时。

输入描述

 

输入一行包含一个整数 n(1≤n≤107)。

输出描述

 

输出一行一个整数，表示答案。答案可能很大，请对 998244353 取模后输出。

样例输入 1 

5

样例输出 1

14

样例输入 2 

100

样例输出 2

3631

题意：

求              ，结果对998244353取模。

思路：        

     

设     ，

因为

所以

         

         

所以

                                  

如果直接暴力的话，时间复杂度是O(n^2)，所以我们还需分块处理。

当d取时，最多有种数值：当时，最多有种；当时，，最多有种。

我们让d从1增到，再让从减到1，所以一次分块可以降O()的复杂度。

在求和时，都可进行分块，每次分块可以降O()的复杂度，两次可降O(n),所以最终时间复杂度为O(n)。

代码：

#include 
using namespace std;
const int N=1e7+10; 
const long long mo=998244353; 
int u[N],sum[N];
long long pri[N>>1],now;
bool vis[N];
int n;
void init()
{                           
    vis[1]=1;u[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
	{
        if(!vis[i])pri[++now]=i,u[i]=-1;
        for(int j=1;j<=now&&(long long)pri[j]*i<=n;++j)
		{
            vis[pri[j]*i]=1;
            u[pri[j]*i]=-u[i];
            if(i%pri[j]==0){u[pri[j]*i]=0;break;}
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=u[i]+sum[i-1];
}
long long g(int n)
{
    long long ret = 0;
    int x=(int)sqrt(double(n)),tx; 
    for(int i=1; i<=x; ++i)
    {
    	ret+=(long long)u[i]*(n/i)%mo*(n/i)%mo;
    	ret%=mo; 
	}
	for(int i=n/x;i>=1;--i)
	{
		tx=n/i; 
		ret+=(long long)(sum[tx]-sum[x])*i%mo*i%mo;
		ret%=mo; 
		x=tx; 
	} 
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
	init();
    long long ans = 0;
    u[1]=1;
	int x=(int)sqrt(double(n)),tx;  
    for(int i=1; i<=x; ++i)
    {
    	ans+=(long long)u[i]*g(n/i)%mo;
    	ans%=mo; 
	} 
	for(int i=n/x;i>=1;--i)
	{
		tx=n/i; 
		ans+=(long long)(sum[tx]-sum[x])*g(i)%mo;
    	ans%=mo;
		x=tx; 
	} 
    printf("%lld\n",(ans+mo)%mo); 
    return 0;
}