概率论悖论
1．赌徒的谬误
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M：琼斯先生和琼斯太大有五个孩子，都是女儿。 琼斯太大：我希望我们下一个孩子不是女孩。 先生：我亲爱的，在生了五个女儿之后，下一个肯定是儿子。 M：琼斯先生对吗？ |
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M：很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了。事情将是这样进行的吗？ |
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M：埃德加·阿兰·坡坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了。他说得对不对呢？ |
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M：如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。在掷骰子时，每掷一次都与以前掷出的点数完全无关。 |
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M：琼斯先生和琼斯太太第六个孩子是女孩的概率仍然是1/2。轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然是1/2。掷骰子时，下一次掷出2的概率仍然是1/6。 |
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M：为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔了五次国徽向上。这时再扔一次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，钱币对于它过去的结果是没有记忆的。 |
如果事件A的结果影响到事件B，那么就说B是“依赖”于A的。例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件。你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。
大 多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种原因会不受临近的同类独立事件的影响。比如，第一次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身。他们确信老的弹 坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大。因为，看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点，这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将 会安全一些。
有 一个故事讲的是很多年前有一个人坐飞机到处旅行。他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹。于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。 他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。事实，他自己带的炸弹不会影响其他旅客 携带炸弹的概率，这种想法无非是以为一个硬币扔出的正反面会影响另一个硬币的正反面的另一种形式而已。
所 有轮盘赌中最受欢迎的系统是戴伦伯特系统，它正是以赌徒未能认识到独立事件的独立性这一“赌徒谬误”为基础的。参与者赌红色或黑色（或其他任何一个对等赌 金的赌），每赌失败一次就加大赌数，每赌赢一次就减少赌数。他们猜想，如果小小的象牙球让他赢了，那么就会有某种原因“记住”它，不太可能让他在下一次再 赢；如果小球使他输了，这将感到抱歉，很可能帮助他在下一次赢。
事 实是每一次旋转，轮盘都与以前旋的结果无关，这就十分简单地证明了，任何一个赌博系统给赌徒的好处都不会比给赌场主的还多。约翰·斯卡恩在他的“赌博大 全”一书中写道：“当你象一般组织好的赌赛中常有的情况，你要因赌场主设赌而给他一定百分比的钱，故你赢的机会就如数学家所说的是负的期望。当你使用一种 赌博系统时，你总要赌好多次，而每一次都是“负的期望”。绝无办法把这种负期望加成正的……“
埃 德加·阿伦·坡写的骰子的笑话出在他的侦探故事的跋中，题为“玛丽·罗杰特之谜”。一粒骰子，一枚硬币，一个赌盘，或者任何一种随机装置，都会产生一系列 独立事件，这些事件无论如何也不会受到这种装置过去状态的影响。如果你们总愿意相信某种赌徒谬误，那么一个有意义的课堂活动就是假装玩一次实际的以赌徒谬 误为基础的赌博游戏。比如，一个学生可以反复抛掷硬币，只是在同一面出现三次之后，才与另一学生用扑克牌作筹码打赌。他总是赌硬币相反的那一面。换句话 说，就是在三次出现国徽之后，他赌字；在三次出现字之后，他赌国徽。末了，比如说赌了50次，这时他手中的牌数绝不会正好与开始时一样多，但应该是差不多的。也就是说他赌赢赌输的概率是相等的。
2．四只猫的性别
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M：很容易作出错误的概率计算。这儿有两只猫已住在一起。 |
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V1：亲爱的，我们的新房舍中有几只猫？ V2：你不会数呀？四只，你这个笨蛋。 V1：几只雄猫？ |
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V2：很难说，我也不知道呢。 V1：四只猫都是雄的不太可能。 |
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V2：也不可能四只都是雌猫。 |
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V1：也许只有一只是雄猫。 |
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V2：或许只有一只是雌猫。 |
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V1：这也不是很难想出来的，亲爱的。每只猫是雄是雌的机会是一半对一半，所以很明显，最有可能的结果是两个雄的，两个雌的。你还不能把它们算出来吗？ |
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M：猫先生的理由对不对？ 让我们来检验它的理论。用B表示雄猫，用G表示雌猫，这就很容易列出十六种同等可能的情况。 |
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M：在十六种中只有两种是所有猫都具有同样性别，所以，这种情况发生的概率是2/16，或1/8。猫先生认为这种情况具有最低概率是对的。 |
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M：现在，让我们检验一下2—2分配，猫先生认为这是可能性最大的一种。这种情况有六次，所以其概率是6/16，或3/8。这显然比1/8高。猫先生也许是对的。 |
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M：可是，我们还有一个更大可能的情况要考虑：3—1分配，由于这种情况有8次，其概率是8/16，或1/2。这就比2—2分配高。我们大概是搞错了吧？ |
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M：如果我们算出的概率是对的，它们相加应等于l。加一加果然为1。这就向我们说明，三种情况都会发生，猫先生猜错了，最可能的情况是3—1，而不是2—2。 |
一家四个孩子最可能的情况是三个孩子是一种性别，另一孩子是另一种性别，而不是两个男孩，两个女孩，这一点使大多数学生感到惊讶。在班级里，用4个硬币反复抛掷很容易作出试验。将每次抛掷结果记录下来。在抛了100次之后，差不多有50次是3—1组合，而2—2组合大约是33次。
在做了这个练习之后，你也许希望给你的学生一项任务，决定在一个有五个孩子或六个孩子的家庭中不同性别组合的概率。由于这是令人乏味的工作，当他在列出所有组合时，你再向他介绍节省时间的公式就是最好的时机。
—个类似的问题是关于一手桥牌中四种花色的最可能分布，其答案也同样违反直觉。最不可能的情形自然是拿到同一花色的13张牌（你拿到这手牌的可能性是158753389899分之一）。可是最可能出现的情况是什么呢？
即使是很有经验的桥牌手也往往猜想答案是4，3，3，3。这就错了。最可能的一手牌是4，4，3，2。你可以期望这类牌大约要五圈拿到一次；而4，3，3，3这种分布则大约要每九圈或十圈才能拿一次。就是5，3，3，2这种分布也可能是每六圈拿一次。奥斯瓦尔德·雅可比写的《怎样预测手气》中给出了各种可能的花色分布概率表。较有才能的学生用袖珍计算器可以把证实雅可此的预测表当作一项有趣的工作。
在 报纸上，你是不是会看到某人得到一手完满的桥牌的故事。得到这种牌的可能性小到要用天文数字来表示，因此故事几乎肯定是假的，要不，在玩牌人当中就有人着 实在搞鬼，他偷偷地把牌安排好了。要不然就可能是刚拿出一副新牌，某人无意地作了两次完满的洗牌。完满的洗牌就是把这副牌严格对半分，然后两边的牌一张一 张地交叠。洗两次后，这副牌就是四种花色顺次交错。这时无论怎样发牌，都得到四手完满的牌。
3．三张卡片的骗局
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M：在很多赌博游戏中，若相信你对概率认识的直觉将会是不幸的。这里有一个用三张卡片和一顶帽子作简单的赌博例子，可以证明这一点。 |
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M：利用镜子反照可以比较容易看出卡片的组成。第一张卡片两面都是圆圈。中间那张卡片，一面是黑点，一面是小圈。最后一张则两面都是黑点。 |
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M：庄家把卡片放在帽子里摇晃，让你取一张。把它放到桌子上。然后，他与你以对等的赌金，打赌下面两圈点是和上面的一样。 我们假定你取出的卡片上是小圈。 |
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M：庄家为了哄你，让你以为这个赌博是公平的，就说你的卡片不可能是黑点—黑点卡。因此，它要么是小圈—小圈卡，要么是黑点—小圈卡。下面的不是黑点，便是小圈，所以你和他赢的机会相等。 |
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M：要是这个游戏是公平的，庄家怎么会这样快就赚了你的钱呢？这是因为他的话是骗人的。实际情况是2比1对他有利。 |
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M：关键是同样可能的情况有三种，而不是两种。抽出的卡片可能是小圈—黑点，或者是A面向上的小圈—小圈，也可能是B面向上的小圈—小圈。底面与上面一致的情况有两种。因此，在玩了多次以后，庄家就会是大约三回里赢两回。 |
这个卡片游戏是沃德·威弗设计的，沃德是著名的数学家，信息论的建立者之一。他曾在1950年10月《科学美国人》关于“概率”一文中介绍过这个内容。
下面是对这个赌戏的真实情况的—种说明。三张卡片中有两张是两面圈点一样的。如果你从帽子中随机地取卡片，那么你得到这种两面圈点一致的卡片的概率是2/3。因此，抽出的卡片与上面圈点相同的概率就是2/3。
卡片游戏是称为伯特纳德箱的悖论的翻版。在伯特纳德以后，一位德国数学家将它写进一本书中，于1889年发表。伯特纳德设想有三个箱子。一个装着两枚金币，一个装着两枚银币，一个装一枚银币一枚金币。三个箱子混杂，然后随意取一个箱子，显然这个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3。
然而，假定我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，看到它是金的。这就是说，箱子里的不可能是两枚银币。因此，它必然是两枚金币；或一枚金币，一枚银币。由于这两个箱子中任何一个被选中的机会相等，看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了1/2。如果我们取出的是银币，也会得出同样的结论。
取出箱中的一枚钱币看一看，怎么就改变了箱中装两枚同样钱币的概率呢？显然这是不可能的，这样就说明了上面错在哪里。
这 里有一个相关的悖论学生们是会觉得很有意思的。如果你抛掷三枚硬币，它们掉下来后完全一致的概率是什么？三个当中至少有两个是—样的，另外那个要么与这两 个一样，要么就是不同的。由于它出现这两种情况的机会均等，故它与另两个硬币是否一致的机会就是相等的。这样，看起来所有三个硬币都一样的概率就是1/2。
我们只要将八种可能的情况列表如下，就可表明这种推论是错的：
H H H T H H
H H T T H T
H T H T T H
H T T T T T
看得出来，只有两种情况是三个硬币都取同样花纹。因此正确的概率应是2/8=1/4。
另一个出人意料的小悖论也是由于在考虑所有可能的情况时发现错误而引起的。说的是一个男孩有一个玻璃球，一个女孩有两个玻璃球。他们向竖在地上的一根立柱弹球，玻璃球最接近立柱者胜。假定男孩和女孩技巧完全相同，测量也足够精确而不会引起纠纷。女孩赢的概率是什么？
观点一：女孩弹两个玻璃球，男孩只弹一个，因此女孩赢的概率是2/3。
观点二：把女孩的玻璃球叫做A和B，把男孩的叫做C，就有四种可能的情况：
（1）A和B都比C更接近立柱。
（2）仅A球比C球接近立柱。
（3）仅B球比C球接近立柱。
（4）C球比A和B都接近立柱。
这四种情况中三种都是女孩赢，所以女孩赢的概率是3/4。
为了解决这个问题，我们列出全部可能的情况，它是六种而不是四种。按三个球接近立柱的次序，使最近者在前，列表如下：
A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
在六种情况中有四次是女孩赢。这就证明了第一种观点对，女孩赢的机会是4/6＝2/3。
4．电梯悖论
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M：人们乘坐电梯往往为另一个奇怪的概率悖论而感到迷惑不解。我们假定在这幢大搂里，电梯运行是独立的（即与任何人无关），在每层楼停留的时间均等。 |
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M：高先生的办公室靠近顶层，他非常恼火。 高：真见鬼，我等乘电梯下楼已经等了五分钟了，所有停下的电梯都是要上楼的。老是这样。 |
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高：说不定他们是在底层做好电梯，待电梯升到顶层时，再将它从房顶用直升飞机运走呢！ |
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M：艾小姐在接近底层的办公室工作。她每天要到顶层的餐厅吃午饭。她也很恼火。 艾：我真不明白。不管我什么时候等电梯，停下的电梯多数是要下楼。 |
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艾：他们肯定是先把电梯弄到顶层，然后把它打发到地下室存起来了。 |
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M：用一个简单的图可以排除这团迷雾。对于高先生而言，电梯间里只有上端黑色区中的电梯才下楼。这个区比阴影区小，因此电梯在他那层楼从下面往上跑的概率要高得多。你现在看得出，在艾小姐的情况下这一推论同样起作用了吧？ |
电梯悖论首先出现在一本物理学家乔治·伽摩和他的朋友马文·斯特恩写的书——《数学之谜》中。在用一个电梯说明这个悖论时，就象我们前面那样，伽摩和斯特恩犯了一个小错误。他们认为，如果电梯不止一架，概率“自然还是同样的”。
斯坦福大学的计算机科学家首先认识到这个错误。他在1969年7月的《娱乐数学杂志》上写了一篇文章“伽摩—斯特恩电梯问题”。他指出，当电梯增加后，在任何一层碰到电梯上楼和下楼的概率都接近1/2。
这 种情况在一定程度上是比原来的悖论更令人感到矛盾了。这意味着，如果你在接近顶层等电梯，并只注意其中一个电梯门的话，那么将要到的那台电梯可能上楼的概 率较高。可是，如果不管那个电梯间的电梯都可以上，则将要到达的那台电梯上、下楼的概率就不问了。这个概率在电梯数目接近无限时就接近于1/2。停在接近底层的电梯可能下楼的概率也是同样的。
自然，我们假定电梯的运行彼此无关，它们的速度相等，且在每层楼的平均等待时间相等。如果电梯只有少数几台，则概率稍有偏离。但如果有20台，则对所有各层来讲，上、下楼的概率就非常接近1/2了，自然最顶层和最底层除外。
5．女朋友的烦恼
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M：你听说过一个青年无法决定看哪个女朋友好的事吗？他有两个女朋友，一个住在东城，一个住在西城。他每天不定什么时候要去地铁车站一次．坐上最早碰到的列车。 |
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M：向东的列车和向西的列车都是十分钟到一次。 |
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M：有一天晚上，东城的姑娘说： V1：我真快乐，你十天里就来看了我九次。 |
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M：又一天晚上，西城的姑娘十分生气： V2：怎么回事？你十天才来看我一次！ |
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M：这种奇怪的现象就跟电梯的情况一样。尽管所有列车都隔十分钟到站，可是运行时刻表编得使西去的列车比东去的列车总是晚到一分钟。 |
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M：为了赶上西去的列车，这个青年必须在一分钟间隔内的某时到达，如图中画的表之的阴影部分。要赶东去的列车，这个青年就需在九分钟间隔内的某时到达，如这只表上的白色部分。显然，向西去的概率就只有1/10，往东的概率是9/10。 |
在这—结论中，两趟列车之间的等候时间由运行时刻表决定。在一连串随机事件中，两次事件之间的“平均等候时间”是通过把几次等候时间相加，再除以几得到。例如，这个青年等候东去的列车，平均时间应是4分，他要往西，平均等候时间是半分钟。
还 有其他很多关于等候时间的悖论。这里有一个学生们喜欢思考的悖论。在抛硬币时，出现国徽（或字）的平均等候时间（或次数）是两次抛掷。这就是说，如果你把 抛掷硬币的结果依次列出，并计算每两次国徽之间的时间（即次数），则两次国徽之间的抛掷次数（第一次国徽不算在内，但包括第二次国徽出现的那次）是两次。
假如你把很多次钱币抛掷结果列成直行表。随意在两个相邻的结果之间选一点（或许是闭上你的眼睛划一条横线）。找出这一条线上面和下面最近的国徽，并计算出从一次国徽到另一国徽之间包括的抛掷次数。如果你将这一工作重复多次，国徽之间的平均次数是几？
根据直觉，答案似乎是2次。实际上却是3。理由就跟那个青年老是赶上东去的列车一样。两次图案之间有时抛掷次数多，有时次数少。你随便划的线就像那个青年在任意时间到达地铁车站一样。这条线划在抛掷次数多的两国徽之间比次数少的国徽之间具有更多的可能性。
如果我们另用一种算法，即从划出的线向两边数，那么，由于钱币抛掷的结果与它以往的抛掷结果无关，于是从划线的地方往上数或往下数，按照上面平均等待时间（次数）的概念，可知要平均扔两次才出现国徽，故两个国微都算在内时，抛掷次数为2*2=4次。但我们规定是只算一个国徽，故应为4-1=3次。
将此问题与轮盘赌比较将得出更惊人的结果。轮盘上有38个数，包括0和00在内。对于某个给定的数，比如说7，平均等候时间是38次旋转。可是，如果你把旋转结果依次列出，在上面任意打点，那么该点所在的最挨近的两个7点区间中的平均点数就不是38，而是2*38-1=75次。
6．三个贝壳的骗局
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庄家：快来！看看你猜不猜得着哪个贝壳下有绿豆？如果你说对了，让你的钱变多一倍。 M：在玩了一阵之后，马克先生断定，他最多只能三次里赢一次。 |
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庄家：不要走，马克先生。我让你破例玩这个游戏。你随便选一贝壳，我再翻开一个空贝壳，这样，绿豆肯定在另外两个贝壳中的一个里，这时你赢的机会就增加了。 |
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M：可怜的马克先生很快就输光了。他没有认识到翻开一个空贝壳根本不影响他赢的机会，你知道怎么回事吗？ |
在马克先生选出了一个贝壳之后，至少有一个剩余的贝壳肯定是空的。由于操纵者知道他把绿豆放在哪一个贝壳下面，他就总能翻开一个空贝壳。因此，他这样做对于马克先生修改他挑到正确贝壳的概率没有增添任何有用的信息。
你可以在教室里用一个黑桃A和两张红A证实这一点。将三张牌混合起来，然后把它们放在桌上成一排。让一个学生指出一张牌。他指着黑桃A的概率是多少？显然是1/3。
现在，假定你偷看了你的牌，并在学生指定了一张牌后翻开一张红A。此时你就可以像那个贝壳游戏的操纵者—样作如下讨论：现在只有两张牌，黑桃A就是这两张中的一张。因此学生取得黑桃A的概率似乎已增加到l/2。而实际上，它仍然是1/3。因为，按照假定，学生虽已指定了一张牌，你则总是能翻开一张红A，翻开它根本不能对概率增加任何新信息。
如果像下面那样改变一下这个游戏，就可能引起一场热烈的课堂讨论。不是由你偷看两张未选定的牌来保证你翻开一张红A，而是先让学生指定一张牌，然后让学生翻开剩下的两张之一。若他翻开的是黑桃A，则这一回就不算数，重新再玩一次。只有他翻开的是红A时才看他指定的是什么牌。这样玩法，试问他指定的牌为黑桃A的概率是否增大了呢？
奇怪得很，这回概率的确增大到1/2。我们用下面介绍的取样方法就可看出其中的原因了。把牌的位置叫做1，2，3。不妨假定学生指出的牌在位置2，并假定翻开了第3张牌。它是红A。
这三张牌共有六种同等可能的排法：
1．♠A ♥A ♦A
2．♠A ♦A ♥A
3．♦A ♠A ♥A
4．♦A ♥A ♠A
5．♥A ♠A ♦A
6．♥A ♦A ♠A
如果他翻开的第三张牌是黑桃A，这一盘就算无效，因此第4和第6种情况就不算数，得把它们排除以外。在剩余的四种情形（1，2，3，5）中，第2张牌是黑桃A就有两种可能。因此他指出黑桃A的概率就是2/4=1/2。
这个结果与学生具体指定的是哪张牌，翻开的又具体是哪张牌毫无关系。如果允许马克先生取出要翻的贝壳，并要求翻开的是空的，那么他取得有绿豆的贝壳的概率就会从l/3变到1/2。
7．碰运气
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M：下一次你去游乐场，可别参加“碰运气”游戏！很多人去玩这种游戏都上当了，因为他们以为他们不会失误的。 |
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M：“碰运气”游戏是在一个笼子里装着三个骰子，翻转摇晃笼子就使骰子滚动。玩的人可以赌从1到6任何一个数，只要一个骰子出现他说的数时，他就得到他赌的钱数。参与者往往这样想：如果这个笼子里只有一个骰子，我赌的数就只能在六次中出现一次。如果有两个骰子，则六次中就会出现两次。有三个骰子时，六次中就会有三次赢，这是 对等的赌博！ |
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M：“可是，我的机会还要好一些！如果我赌一个数，比如5，赌一块钱。要是有两个骰子点数是5的话，我就赢两块钱；若是三个骰子都是5，我就赢3块。这个游戏肯定对我有利！” |
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M：由于主顾这样想，难怪赌场操纵者会变成百万富翁！你能说明为什么“碰运气”游戏会使赌场主赢得大笔赌金吗？ |
“碰运气”是在美国和海外很多赌场中玩的赌戏。在英国，这种赌博可追溯到十九世纪初，当时称为“汗巾”。近来称为“鸟笼”。在英国和澳大利亚的酒馆，这种赌博的三个骰子上印的是一个黑桃，一个方块，一个红心，一个梅花，—个王冠，一个锚，并称为王冠和锚。
在 游乐场中，操纵者为招徕顾客而高声叫道：“每次三个人赢，三个人输！”这给人一个强烈印象，好像它是公平的。可是如果三个骰子每次显出的数字都不相同，则 这种赌戏确实是公正的。在每摇一次笼子之后，操纵者就可从三个输家手中赢三块钱（假定每次赌一块钱），付给三个赢家三块钱。可是，操纵者所幸的是，常常在 两个或三个骰子上显出同样的数。如果有两个骰子是同一个数，那么他收进四块钱．付出三块线，赚回一块钱。如果有三个骰子是同样的数，则他就收进五块钱，付 出三块钱，赚回两块钱。正是这些双重数和三重数使赌场老板赚了大钱。
用公式来计算赌场主赢的比例是件需要技巧的工作。普通的学生最好是把三个骰子落下的全部216种可能情况全部列出。这时，他们会发现其中只有120种情况是三个骰子的点数不同，90种是两个点数一样，6种是三个点数都一样[*]。假定这个赌戏玩了216次，产生了所有216种结果。每一次游戏，六个人对六个不同的数各赌一块钱。赌场主在216次赌博中收集到216*6＝1296块钱[†]。
当三个骰子点数不同时，他得付出6块钱（三个赢家每人两块钱），总共120个这种情况，故他付出6*120=720块钱。当出现两个骰子的点数相同时（总共有90种情况），他须付给一个点数的人2* 90=180块钱。付给有两个一样的点数的人3*90=270块钱。当三个骰子都是一个点数时（共六种情况），他须付出6*4=24块钱。这样，他总共付出1194块钱，净赚102元。
将102元除以1266元，得出赌场主的利率为7.8+%。这就意味着，他可以期望在一段长时间赌博之后，对每一赌徒的1块钱赌金，他将会得到7.8分多一点。一个赌徒压赌的任何一个数，在216种情况中，只有91种情况是他这个数至少出现一次[‡]，所以他赢得一块钱的概率是91/216，比1/2小得多。
[*] 这个结果可以用排列组合公式来计算，三个骰子点数不同，可看作三个骰子分别取1到6六个数字的排列：A63=6*5*4＝120。三个骰子中两个点数一样，可看作三个骰子取1到6中的两个数字的排列，两点数为单的骰子可轮流取为三骰子中的一个，共三种，故这个数目是3*A62=3*6*5=90。三个骰子点数全同只有1到6六种，总共是216种情况。另外一个算法是：三个骰子每个可以取1到6六个数的组合是6*6*6=216——译注
[†] 玩赌时，聚赌者每人拿出一块钱。他若赢，就拿回两块钱，他若输，就失去这块钱。——译注
[‡] 这可以计算如下：当他选中一个数时，有三种赢的情况：第一，三个骰子都是他选的数，此时只有一种可能。第二，三个中有两个骰子是他选的数，此时另一个骰子取其他五个数中任何一个，而单独数的那个骰子三个轮流有三种，故数目是3*5=15。第三，只有一个骰子是他要的数，此肘其他两个骰子可以是其余5个数中任何一个为5*5=25个．但三个骰子每一个都可取他要的数，故总共是3*25=75种。上述三种情况共75+15+1＝91种。——译注
8．鹦鹉之谜
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M：一位夫人有两只鹦鹉。一天一个来访者问她。 来访者：“有一只鹦鹉是雄的吗？” 夫人：“对，有一只是雄的”。 M：两只鹦鹉都是雄的概率是几呢？ |
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M：假定那个人问另一个问题： 来访者：绿鹦鹉是雄的吗？ 夫人：是。 M：现在，两只鸟都是雄的，概率提高到1/2。为什么一问到绿鹦鹉是不是雄的就改变了概率？ |
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M：这条悖论在把一切同等可能情况都列出之后，就很容易解释了。当这个人问是否有一只鹦鹉是雄的时，有三种可能的情况要考虑到。其中只有一种是两只都是雄的，所以这种情况的概率是1/3。 |
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M：可是，在这个人问绿鹦鹉是否雄的时，就只有两种情况要考虑。其中一种是两只都是雄的，所以这种情况的概率是1/2。 |
现在可用两个硬币来模拟鹦鹉问题，一个用2分的硬币，一个用一分的硬币，让一个学生抛掷，然后就其结果作出某些论断。该学生可以采取几种做法：
1．如果两枚硬币都是国徽，他说：“至少有一枚硬币是国徽。”如果两枚硬币都是字，他说：“至少有一枚硬币是字。”如果两枚硬币不相同，他说：“至少有一枚是……。”（国徽和字由他随便说一个）。无论他说的是什么，两个硬币都是一样的概率是什么？是1/2。
2．这个学生进而又同意只是在出现国徽时才叫：“至少有一枚硬币是国徽。”如果没有一枚硬币是国徽，他就什么也不说，重来一次。这时，两枚硬币那是国徽的概率是多少？1/3（因为现在两枚都是字的情况已排除在外了）。
3．学生进而又同意按一分硬币落下的情况较，即按一分硬币的国徽朝上或字朝上叫。这时，两个硬币一样的概率是多少？回答1/2。
4．学生又同意这样叫：只当一分的硬币是国徽时才叫：“至少有一枚是国徽。”这时两枚硬币都是国徽的概率是多少？回答：1/2。
好一点的学生不用试验就可作出正确回答。你的班级一定高兴做几次实际试验来验证这些答案。
鹦鹉悖论有时在教科书中以一种含糊的方式给出，结果不可能有正确回答。例如，你假定碰到一个陌生人，他说：“我有两个孩子，至少有一个是男孩。”那么两个孩子都是男孩的概率是几？
这 是一个定义得不准确的问题，因为你对使这个人说出上面那些话的环境一无所知，很可能是这样：如果他两个孩子性别不同，他就随便挑一个说，或许他说过“至少 有一个是女孩。”也可能两个孩子都一样，则他就如上面那样说出他们的性别来。如果他是这样的过程，则二者一样的概率就是1/2。情况同上面的第一种。
画中顾客用提问方法消除了模糊：顾客第一次问道“至少一只鸟是雄的吗？”相应于上述第二种情况。他第二次又问：“绿鸟是雄的吗?”对应了第四种情况。
还有一个使人惊愕的悖论，与鹦鹉悖论很有关系，叫做第二张A的悖论。假定你正在玩桥牌。在发完牌时，你扫视一下手中的牌，宣布：“我有一张A。”那么你还有一张A的概率是多少？它是严格的，小于1/2。
现在假定，大家一致同意专指一张A，比如果桃A，桥牌一直打到你可以叫：“我有一张黑桃A”时，你还有一张A的概率是几？这，稍高于1/2！为什么指定了A的花色就改变了概率？
对一手牌的全部可能作出计算是冗长乏味的，不过若把一手牌减为四张，就可以理解这条悖论的奥妙了。比如说这四张牌是黑桃A，红心A，梅花2和方块J（通过减少其元素个数来简化问题往往是了解其结构的绝妙方法）。洗一洗这四张牌，把它发给两个人，两张牌一手有六种同等可能的情况。
♠A ♥A
♠A ♦J
♠A ♣2
♥A ♦J
♥A ♣2
♦J ♣2
六手牌中有五手（即前五手牌）都使玩牌者可以说“我有一张A”。但五手牌中只有一手是还有一张A的，结果有第二张A的概率是1/5。
上面有三手牌（即前三手牌）使玩牌人可以宣布：“我有一张黑桃A”。这三手中只有一手是有另一张A的，两张A的概率是1/3。
这样变一下就很简单了，课堂上可以验证一下，比如说，将这四张牌洗、发五十次，全部记录下来。如果一个学生知道了它的公式，又有小计算器，他也许高兴对整副牌来试解上面的问题。
注意，要叫的A和叫牌的人都必须预先定好，如果这些假定未事先定好，问题就不明确确定。
9．钱包游戏
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M：史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭。 教授：我来告诉你们一个新游戏，把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个人钱包里的所有钱。 |
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乔：呣……，如果我的钱比吉尔的多，她就会赢掉我的钱，可是，如果她的多，我就会赢多于我的钱，所以我赢的要比输的多。因此这个游戏对我有利。 |
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吉尔：如果我的钱比乔多，他就会赢掉我的钱。可是，如果他的钱比我的多，我就可以赢，而我赢的比输的多，所以游戏对我有利。 |
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M：一个游戏怎么会对双方都有利呢？这是不可能的。是不是因为两个参与者都错误地设想他赢和输的机会是相等的，因而产生了这个谬论呢？ |
这个有意思的悖论出自法国数学家莫里斯·克莱特契克，在他的《数学消遣》书中用领带代替钱包：
“有 两个人都声称他的领带好一些。他们叫来了第三个人，让他作出裁决到底谁的好。胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都这样想：我知道我的领带值 多少。我也许会失去它，可是我也可能赢得一条更好的领带，所以这种比赛是对我有利。一个比赛怎么会对双方都有利呢？”
很容易表明，如果我们做出一个明确的假定来准确地限定条件，它就是一个公正的比赛。当然，如果我们已经得知比赛中的一个人总爱带较少的钱（或系较便宜的领带），那么我们就知道这个比赛是不公平的。如果无法得到这类消息，我们就可以假定每一个比赛者带有从0到任意数量（比如说一百元）的随便多少钱。如果我们按此假定构成一个两人钱数的矩阵（这是克莱特契克在他的书中列出的），我们就可看出这个此赛是“对称的”，不会偏向任何一个比赛者。
可 惜，这不可能告诉我们上面两个比赛者的想法错在哪里。我们没有找到一种方法能够以此较简单的方式澄清这个问题。克莱特契克也没能做到，就我们所知，对这个 比赛没有其他参考材料了。如果你们当中有任何人能想出一种办法，不用深入到高深的对策论就可说清楚上面两个比赛者的想法错在哪里，你愿写信告诉我们吗？我 们就可以在这本书的下一版利用这一解释了。
10．中立原理
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甲：火星上有人吗？ |
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乙：世界会发生一场核战争吗？ |
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M：如果你回答这类问题时说，肯定和否定是同样可能的，你就笨拙地应用了一个名为“中立原理”的东西。不小心使用了这一原理使很多数学家、科学家、甚至伟大的哲学家陷入糊涂之中。 |
经济学家约翰·凯恩斯在他著名的《概率论》一书中把“理由不充足原理”更名为“中立原理”，说明如下：如果我们没有充足理由说明某事的真伪，我们就选对等的概率来定每一事物的真实值。
这个原理在科学、伦理学、统计学、经济学、哲学和心理学等多种领域中的应用已有很长一段历史，因而声名狼藉。法国天文学家、数学家拉普拉斯有一次曾以这个原理为基础计算出太阳第二天升起的概率是1/1826214。
现在让我们看看，如果把这个原理应用于上述的火星和核战争问题，将引起怎样的矛盾。火星上可能有某种生命形式的概率是多少？我们应用中立原理就得到答案。在火星上连简单的植物生命都没有的概率是多少？同样，我们答道：。没有单细胞动物的概率呢？也是。那么火星上既没有简单的植物生命，也没有单细胞动物的概率是几？按照概率定律，我们必须用乘答案是。这既意味着在火星上有某种形式的生命的概率就升高到1-=,这就与我们原来的估计值相矛盾了。
在公元2000年内发生核战争的概率是多少？根据中立原理，我们回答是。那么原子弹不会落在美国国土上的概率是多少？回答是。苏联不会受原子弹轰炸的概率是多少？。法国不受原子弹轰炸的概率？。如果我们将这一理由应用到10个不同的国家，则原子弹不会轰炸其中任何一个国家的概率就是的10次方，即。用1减这个数就得到原子弹会炸到10个国家中任何一个国家的概率——。
另一个不小心用了中立原因的好例子是未知立方体的悖论。假定你知道有一立方体，藏在一个柜子里，其边长是2尺到4尺之间。既然你没有任何理由认为它的边长是比3尺短或 比3尺长，那么你认为此立方体的边长是3尺就是最好的估计。现在来考虑这个立方体的体积。它必然是在23=8尺3到43 =16尺3之间。同样，既然你没有任何理由认为其体积比36尺3少或比36尺3多，那么认为36是该立方体的体积就是最好的估计。换句话说，你对这个立方体最好的估计是边长为3尺，体积为36尺3，这该是一个多么奇怪的立方体啊！换一种方法，如果你把中立原理应用于立方体的边长，则你得到边长为3尺，此时体积为27尺3。但若把它应用于体积你得到的体积为36尺3，这时边长是36的立方根，大约是3.30尺。
立方体悖论是一个很好的例子，它说明科学家或统计学家在对一个量得出了它的最大值或最小值之后，就进而假定实际值最可能取二者之间的中值，这时将会陷入困境，凯恩斯还给出很多这种悖论的实例。一旦学生们掌握了人们是怎样误用这个原理的，他们也许还乐意编出一些新的笑话来。
这 个原理在概率论中可以合法地应用，不过仅当以客观情况是对称的这一点为依据，从而假定两种概率相等时才能奏效。例如，一个硬币在几何形状上是对称的，这就 是说可以沿着硬币的边缘有一对称平面切过硬币。作用在其上的力是对称的—重力、摩擦力、大气压力等等都是对称的。它们对一面的作用力绝不会超过另—面。因 此，我们就可以断定，国徽和字面二者出现的概率相等这一假定是合理的。这种对称性同样适用于有六面的立方体骰子和有38个条纹的轮盘赌。当我们不知是否有这种对称性，或许它根本就不存在时，就应用中立原理往往导致荒诞的结果。
11．帕斯卡赌注
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M：著名的十七世纪数学家布莱斯·帕斯卡把中立原理应用于基督徒的忠诚上。 |
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帕斯卡：一个人无法决定他是接受还是拒绝教堂的教义。教义也许是真实的，也可能是骗人的。这有点象抛硬币，两种可能性均等。可报应是什么呢？ |
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帕斯卡：假定这个人拒绝了教堂的教义。如果教义是骗人的，则他什么也没有损失。可是，如果教义是真实的，那他将会面临在地狱遭受无穷苦难的未来。 |
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帕斯卡：假定这个人接受了教堂的宣传。如果教义是骗人的，他就什么也得不到。可是，如果教义是真实的，他将能进入天堂享受无穷的至福。 |
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M：帕斯卡确信，对这一决策游戏的报应无限有利于把宝押在教义是真的这一态度之上。哲学家们自那以后一直在对帕斯卡的赌注进行争论。你的看法如何？ |
十 七世纪的法国数学家和哲学家布莱斯·帕斯卡是概率论的奠基者之一。在第一图里所画出的是他提出的一个被称之为“帕斯卡三角”的著名的数字结构。帕斯卡不是 这个三角的发明者（它可追溯到中世纪早期），但他是第一个对此作了彻底研究的人。这个图形的结构具有许多精美的组合性质，从而使它成为解答初等概率问题的 一个有用工具（见哈诺尔德·雅可比的《数学——人类的魄力》关于帕斯卡三角一章）。
在哲学上，帕斯卡三角最富戏剧性的应用是帕斯卡《随感录》中第233个想法。帕斯卡认为，由于我们无法确定教堂的教义是真还是假，我们就应该把这两种情况当作具有同等的可能性。就像抛掷硬币的结果一样。然而如果我们接受教堂的说教，报答是无限有益；如果我们拒绝它，就会无限受报。因此，他主张接受是最上策。
课堂讨论帕斯卡赌注很快就能引导学生深入到各种具有深刻挑战性的问题。例如：
1．中立原理是合法地应用于帕斯卡的论断之中吗？
2．对于法国哲学家丹尼斯·林德罗提出的这样一个异议你作何回答？世界上还有很多其他的影响很大的宗教，例如伊斯兰教，它们也提出接受该宗教是得到拯救的条件。帕斯卡赌注也适用于所有这些宗教吗？如果这样的话，一个人难道能成为每个宗教的信徒吗？
3．你对威尔斯的看法有何见解？我们并不知道世界在经历一场原子大战之后是否会保留下来。可是，你的生活和所作所为应该表现得好象你确信世界能够经历这场劫难而保存下来那样，这是因为（如威尔斯所说）“如果在末了，你的乐观看法不能证实，你也总是快乐的”。