Codeforces 1149E Election Promises SG函数

题意

有一个DAG，点有点权。两个人轮流操作，每次可以选择一个点，将这个点的权值变小，并把所有该点出边指向的点的权值改变为任意值。满足任意时刻每个点的点权均为非负整数。无法操作者输。问先手是否必胜，若必胜则给出第一步操作。
$n,m\le 2\ast 10^5$

分析

先把每个点的sg函数求出来，设$sum(x)$表示所有sg函数等于$x$的点的权值的异或和。那么先手必胜当且仅当不存在$x$满足$sum(x)$为$0$。
证明：当无法操作时所有的$sum(x)$都为$0$。
若所有$sum(x)$都为$0$，当对一个点$k$操作时，所有sg函数值为$k$的点只有该点的权值发生改变，则$sum(sg(k))$必然变得不为$0$。
若存在$sum(x)$不为$0$，找到最大且满足的$x$，然后对某个sg函数值为$x$的点操作，必然可以使得所有的$sum(x)$都变为$0$。

代码

#include
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const int N=200005;

int n,m,cnt,last[N],a[N],deg[N],sg[N],h[N],sum[N];
bool vis[N];
struct edge{int to,next;}e[N];

void addedge(int u,int v)
{
	e[++cnt].to=v;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;
}

void get_sg()
{
	int tot=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) if (!deg[i]) a[++tot]=i;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x=a[i];
		for (int j=last[x];j;j=e[j].next)
		{
			deg[e[j].to]--;
			if (!deg[e[j].to]) a[++tot]=e[j].to;
		}
	}
	for (int i=n;i>=1;i--)
	{
		int x=a[i];
		for (int j=last[x];j;j=e[j].next) vis[sg[e[j].to]]=1;
		for (;vis[sg[x]];sg[x]++);
		for (int j=last[x];j;j=e[j].next) vis[sg[e[j].to]]=0;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
		addedge(u,v);
		deg[v]++;
	}
	get_sg();
	for (int i=1;i<=n;i++) sum[sg[i]]^=h[i];
	int mx=-1;
	for (int i=n;i>=0;i--) if (sum[i]) {mx=i;break;}
	if (mx==-1) {puts("LOSE");return 0;}
	int pos=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) if (sg[i]==mx&&(h[i]^sum[mx])<h[i]) {pos=i;break;}
	puts("WIN");
	h[pos]=sum[mx]^h[pos];
	for (int i=last[pos];i;i=e[i].next)
	{
		int x=e[i].to;
		if (vis[sg[x]]) continue;
		vis[sg[x]]=1;
		h[x]=sum[sg[x]]^h[x];
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",h[i]);
	puts("");
	return 0;
}