AcWing 1057 股票买卖 IV

题目描述：

给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，你最多可以完成 k笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。一次买入卖出合为一笔交易。

输入格式

第一行包含整数 N和 k，表示数组的长度以及你可以完成的最大交易数量。

第二行包含 N个不超过 10000的正整数，表示完整的数组。

输出格式

输出一个整数，表示最大利润。

数据范围

1≤N≤10^5,
1≤k≤100

输入样例1：

3 2
2 4 1

输出样例1：

2

输入样例2：

6 2
3 2 6 5 0 3

输出样例2：

7

样例解释

样例1：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

样例2：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。共计利润 4+3 = 7.

分析：

本题要求交易不超过k次交易赚取的最大利润，一次买卖为一次交易。

根据上图的状态机，如果当前状态持有股票，到下一天可以选择继续持有，也可以选择卖出；如果当前状态未持仓，到下一天可以继续不持仓也可以买进。由于有k次交易的限制，状态表示时需要加入一维表示已经交易的次数，这里买入一次视为开始了一次交易。f[i][j][0]表示到第i天已经进行了j次交易且此时未持仓，f[i][j][1]表示到第i天已经进行了j次交易且此时持有仓位。首先看要到达f[i][j][0]的状态前一天的状态可以是0或者1，如果前一天的状态是0，说明前一天未持仓且已经进行了j次交易，即f[i][j][0] = f[i-1][j][0]，如果前一天有持仓，说明第i天卖出了股票，第i-1天的状态是f[i-1][j][1]，f[i][j][0] = f[i-1][j][1] + w[i]，加上w是因为卖出到账w元，故f[i][j][0] = max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1]+w[i])。同理，要到达状态f[i][j][1]，若前一天状态是0，则第i天买入了股票，进行了第j次交易，前一天只进行了j-1次交易，即f[i][j][1] = f[i-1][j-1][0] - w[i]，减去w表示买入股票扣了w元；若前一天的状态是1，则说明第i天未进行操作，f[i][j][1] = f[i-1][j][1]，故f[i][j][1] = max(f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][0]-w[i])。从而状态转移方程就求出来了，下面考虑边界状态，f[i][0][0]表示第i天都未进行交易，收益是0，除此之外，f[i][[j][0]与f[i][0][1]的初始状态都应该是不合法的，设置为-INF。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N =  100005,M = 105;
int f[N][M][2];
int main(){
    int n,k,price;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    memset(f,-0x3f,sizeof f);
    f[0][0][0] = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%d",&price);
        f[i][0][0] = 0;
        for(int j = 1;j <= k;j++){
            f[i][j][0] = max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1]+price);
            f[i][j][1] = max(f[i-1][j-1][0]-price,f[i-1][j][1]);
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 0;i <= k;i++)   res = max(res,f[n][i][0]);
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

由于第i天的状态仅用到了第i-1天的状态，所以可以用滚动数组实现，需要倒着枚举交易次数防止需要的状态被覆盖。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int M = 105;
int f[M][2];
int main(){
    int n,k,price;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    memset(f,-0x3f,sizeof f);
    f[0][0] = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%d",&price);
        for(int j = k;j >= 1;j--){
            f[j][0] = max(f[j][0],f[j][1]+price);
            f[j][1] = max(f[j-1][0]-price,f[j][1]);
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 0;i <= k;i++)   res = max(res,f[i][0]);
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}