[学习笔记] Matrix tree定理

前言

为了回归算法本身，为了搞懂算法，我参考了不同博客，并将他们做出整合和补充：

• https://www.luogu.com.cn/blog/tanrui-2960967961/matrix-tree-ding-li-ji-ji-ying-yong#
• https://blog.csdn.net/a_crazy_czy/article/details/72971868
• https://www.cnblogs.com/zj75211/p/8039443.html
• https://www.cnblogs.com/lishuyu2003/p/12093947.html

本文将分成$3$个部分：行列式的性质，定理的证明，定理的应用和扩展。标记的即为暂时不懂的地方，会渐渐完善

行列式的性质

$det(A)={\sum }_p(-1{)}^{r(p)}\times A_{1,p_1}\times ......\times A_{n,p_n}$

性质1：互换矩阵的两行（列），行列式变号

可以看如下示例（盗个图）

对于后面乘积相同的两项，我们只用考虑前面系数变化的情况，即行列式的变化情况。

此处引出一个结论，对于一个排列，交换其中两个元素，行列式变化为奇数：

那么后面的乘积不改变，而前面的系数是一定要变号的，所以行列式变号。

性质2：如果有两行完全相同，行列式为0

交换这两行，得到的矩阵相同，行列式不变，但由$(1)$得行列式变号，所以行列式一定为$0$

性质3 如果矩阵的某一行(列)中的所有元素都乘以同一个数k，新行列式的值等于原行列式的值乘上数k

提公因数即可

类似地，如果矩阵的某一行(列)中的所有元素都有一个公因子k，则可以把这个公因子k提到行列式求和式的外面。

性质4 如果矩阵有两行(列)成比例(比例系数k)，则行列式的值为 0

先把这个比例系数提出去，然后可以运用性质2

性质5 如果把矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的k倍，则行列式的值不变

考虑行列式的计算，我们把它拆成两部分，分别是原来的部分和新加的部分（因为每一行只会选一个，看做特殊的分配率），新加的部分一定满足性质4，加上的部分行列式为$0$，所以行列式不变。

优化行列式求法

综上，我们可以把矩阵消成上三角矩阵，求对角线乘积即为行列式的值，时间复杂度$O(n^3)$

标记1：如果要求的矩阵不允许出现实数，且需要取模，可以看看给出的博客，我不会。

Matrix Tree定理的证明

内容

$\text{Kirchhoff}$ 矩阵是指的对于一个图构造出来的一个矩阵，具体定义为度数矩阵减去邻接矩阵，度数矩阵指：
$$A_{i,j}=\{\begin{array}{ll}de{g}_i& i=j\\ 0& otherwise\end{array}$$定理：一个图中的生成树个数等于其 $\text{Kirchhoff}$ 矩阵的任意一个代数余子式的行列式。

性质1

一个图的 $\text{Kirchhoff}$ 矩阵行列式为零。

可以考虑高斯消元的过程，一开始每一行的和为$0$，而消元过程中每一行的和保持是$0$，最后我们要消成上三角矩阵，最后一行只有最边上元素可能有值，而行和为$0$，这个值也是$0$，所以行列式为$0$

性质2

一个图的 $\text{Kirchhoff}$ 矩阵的任一代数余子式的行列式相同。

标记2：yysy，这个性质我证不来

前置定义

我们定义一个图的关联矩阵$B$为：对于第$k$条边$(u,v)$，$B_{k,u}=1,B_{k,v}=1$

一个矩阵的转置矩阵为：$A_{i,j}^T=A_{j,i}$

有一个性质，设这个图的 $\text{Kirchhoff}$ 为$L$：
$$L=B{B}^T$$

标记3：yysy，这个性质我证不来

Part 1

对于一个非联通图$G$，$|L|=0$

设 $M_i$ 为 $L$ 删去第$i$行第$i$列后得到的矩阵，设 $G_i$ 为第$i$个强联通分量，我们把同一个强联通分量的结点通过交换行换到一起（虽然会变号，但如果行列式为$0$就没关系），$\text{Kirchhoff}$ 矩阵变为这样：
$$\begin{array}{cccc}{G}_1& 0& ......& 0\\ 0& G_2& ......& 0\\ ...& ...& ......& ..\\ 0& 0& 0& G_k\end{array}$$其中$|G_i|=0$（$\text{Kirchhoff}$ 矩阵的性质$1$），我们可以看出：
$$|L|=|G_1|\times .....\times |G_k|$$所以$|L|=0$，也不难推知$|M_i|=0$

Part 2

对于一棵树$G$，$|M_i|=1$

标记4：yysy，我不会证

Part 3

标记5：yysy，这个定理不会证明

首先要知道$\text{Binet-Cauthy}$定理，内容大致如下：
$$|AB|=\sum _{|S|=n}|A_p|\times |B_p|$$其中A是一个$m\times n$的矩阵，B是一个$n\times m$的矩阵，$A_p$是把$A$的一些行删去（剩下的行集合为$S$）使之成为$n\times n$的矩阵，$B_p$类似地删去它的列。

套用这个定理，我们可以推倒：
$$|M_i|=|B_i|\times |B_i^T|=\sum _{|S|=n-1}|B_{i,p}|\times |B_{i,p}^T|$$结合$\text{part 1}$和$\text{part 2}$，我们可以知道当是一棵树的时候会产生$1$的贡献，其余情况为$0$，所以$|M_i|$即为生成树个数。

应用及扩展

板题

点此看题

我因为输出格式卡了很久，我好像是sb（自信点，把好像去掉）

板题2

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矩阵树定理的扩展

这是对于更宽泛的问题，做做这道题吧

有向扩展

什么？矩阵树还能有向扩展？

比较基础的是这道题

综合应用

点此看题