数论——逆元

定义

若 a×x≡1(modb) 且 a，b 互质，我们就称 x 为 a 的逆元，记作 a−1 。
下面给出逆元的几种求法。

扩展欧几里得求逆元

扩展欧几里得在这里。
因为 a×x≡1(modb) ，所以 a×x=b×y+1 ，等价于 a×x+b×y=1 ，这就是一个可以用欧几里得求解的线性方程了。
在这里已经介绍出了如何利用原结论求出这个方程的解。
下面给代码：

void exgcd(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
    int ret,tmp;
    if(a==0)
    {
        x=0;
        y=c/b;
        return;
    }
    int tx,ty;
    exgcd(b%a,a,c,tx,ty);
    x=ty-(b/a)*tx;
    y=tx;
    return;
}

费马小定理求逆元

设 p 是一个素数， a 是和 p 互质的整数，则有：

ap−1≡1(modp)

所以我们发现有： a×ap−2≡1(modp) ，所以当 p 是素数时候， a 的逆元就是 ap−2 。
注意点：费马小定理在 p 是素数而且 a,p 互质的时候才可以使用。
变式：对任意整数 a ，有 ap≡a(modp) ，我们可以发现，对于这两个结论，我们有这样的条件：
在 a,p 互质的时候，两个结论是等价的；如果 a,p 不互质，那么只有后者成立。

证明

首先， p−1 个整数 a,2a,3a,4a…,(p−1)a 中没有一个是 p 的倍数。（因为p是质数而且ap还互质）。
其次 a,2a,3a,4a…,(p−1)a 中没有两个模 p 同余的。
于是这些数再加上 ap 就构成了一个完系。所以 a,2a,3a,4a…,(p−1)a 在模 p 意义下是 1 p−1 的一种排列。
所以： a×2a×3a×…×(p−1)a≡1×2×3×…×(p−1)(modp)
化简：
ap−1×(p−1)!≡(p−1)!(modp)
因为 p 是质数，所以 (p−1)! 和 p 互质。约分后 ap−1≡(modp)
这个情况只有在 p 是素数而且 ap 互质才成立。一般地，若 p 是质数，则有：
ap≡a(modp)

代码

费马小定理使用的方法就很简单了，快速幂！

线性递推算法

声明：下面所有的运算都是在 modp 意义下进行的。
首先1的逆元是1。接下来我们表示逆元使用这个方法 a−1 。
我们设 p=k×i+r(r<i,1<i<p)。 如果把这个式子放在 modp 意义下，则会有 k×i+r≡0(modp) 两边同乘以 (i−1×r−1) 就会有：

k×r−1+i−1i−1i−1≡0(modp)≡−k×r−1(modp)≡−[pi]×(pmodi)−1

所以我们就得到了代码：

A[i]=-(p/i)\times A[p % i];

这个方法适用于求多个整数的逆元。

对数级算法求逆元

我们由线性算法可以得到，我们可以不停地使用上述的公式递归，显然可以证明 pmodi<p/2 。
所以我们发现每次的问题规模都缩小了一半，所以时间复杂度 O(log2p) 。
代码：

int ny(int i)
{
    return i==1 ? 1 : (-ny(p%i)*p/i)%p;
}