数论逆元

文章目录

      • 1 什么是逆元
      • 2 存在逆元的条件是什么
      • 3 怎样求一个数的逆元
        • 1.[ 欧几里得扩展]
        • 2. 费马小定理 (最常用)
      • 4 扩展(常用)
        • 1. 线性逆元(常用)
        • 2 快速阶乘逆元(常用)

逆元是数论之中的一个重要概念
参考博客 ACdreamer
参考书籍 《高中数学 选修 4-6》

1 什么是逆元

数论逆元_第1张图片

2 存在逆元的条件是什么

数论逆元_第2张图片

3 怎样求一个数的逆元

1.[ 欧几里得扩展]

不懂的点这里
a ∗ b + n ∗ t = 1 a*b + n *t = 1 ab+nt=1

long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long m = ex_gcd(b,a%b,y,x);
     y  -= a/b * x;
    return m;
}
int main()
{
    long long a,b,x,y;
    cin>>a>>b; //求a 关于b的逆元
    if(ex_gcd(a,b,x,y)==1)
        cout<<(x%b+b)%b<<endl;
    else
        cout<<"None"<<endl;
    return 0;
}

2. 费马小定理 (最常用)

  • 如果n 是素数,费马小定理 a ( n − 1 ) = 1   ( m o d   n ) a^{(n-1) }= 1 \ (mod \ n) a(n1)=1 (mod n),那么a关于n的逆元就 是 a ( n − 2 ) a^{(n-2)} a(n2)
long long qpow(long long a,long long b,long long m)//快速幂
{
    long long ans = 1;
    a %= m;
    while(b > 0)
    {
        if(b & 1)
           ans = (ans * a) % m;
        a = a * a % m;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
long long Fermat(long long a,long long p)//前提p是质数
{
    return qpow(a,p-2,p);
}
  • 如果n 不是素数,利用欧拉定理同理
long long Euler(long long n)//求一个数的欧拉值
{
    if(n == 1)
        return 1;
    long long ans = n;
    for(int i = 2;i * i <= n; ++i)
    {
        if(n % i== 0)
        {
            while(n % i == 0)
                n /= i;
            ans = ans/i * (i-1);
        }
    }
    if(n != 1)
        ans = ans/n*(n-1);
    return ans;

}
long long Euler_to_invers(long long a,long long b)//
{
    return qpow(a,Euler(b)-1,b);
}

4 扩展(常用)

1. 线性逆元(常用)

如果p是一个奇质数,则可以在o(n)时间内求出所有关于同余系关于p的逆元
证明如下
对p进行带余除法,求i的逆元
p = i ∗ k + t   ( 0 < t < i ) p = i * k + t \ ( 0 < t < i) p=ik+t (0<t<i)
等式两边同时对关于p取模
于是 t = − i ∗ k ( m o d   p ) t = -i * k ( mod \ p) t=ik(mod p)
等式两边同时乘以 i n v ( i ) ∗ i n v ( t ) inv(i) * inv(t) inv(i)inv(t)
i n v ( i ) = − k ∗ i n v ( t ) ( m o d   p ) inv(i) = -k * inv(t) ( mod\ p) inv(i)=kinv(t)(mod p)
i n v ( i ) = ( p − k ∗ i n v ( t )   ) ( m o d   p ) inv(i) = (p - k* inv(t)\ ) (mod\ p) inv(i)=(pkinv(t) )(mod p)
i n v ( i ) = ( p − p   /   i ∗ i n v ( p   %   i ) ) ( m o d   p ) inv(i) = (p - p \ / \ i * inv(p\ \% \ i ) ) (mod \ p) inv(i)=(pp / iinv(p % i))(mod p)
这样就可以用一个数组存储关于p的所有逆元

    int inv[10000];
    int p;
    cin>>p;
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2;i < p; ++i)
    {
        inv[i] = (p - p/i*inv[p%i]%p)%p;
    }
    for(int i = 1;i < p; ++i)
        cout<<inv[i]<<" ";
    cout<<endl;
    for(int i = 1;i < p; ++i)
        cout<<i * inv[i] % p<<" ";

2 快速阶乘逆元(常用)

const int maxn = 1e5+10;
long long fac[maxn],invfac[maxn];
void init(int n){
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= n; ++i) fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
    invfac[n] = qpow(fac[n],mod-2);
    for(int i = n-1;i >= 0; --i) invfac[i] = invfac[i+1]*(i+1)%mod;
} 

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