51Nod 1678 莫比乌斯反演

题目链接

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题意：
给定$n$个数和$q$个询问，询问有两种：
$1.$给定$i$和$val$，将$a[i]$的值更新为$val$
$2.$给定$i$，求${\sum }_{j=1}^{n}a[j](gcd(i,j)==1)$

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思路：

考虑询问操作的实现：
由艾弗森约定，得：
$$Ans=\sum _{j=1}^{n}a[j](gcd(i,j)==1)=\sum _{j=1}^{n}a[j]\sum _{d|gcd(i,j)}\mu [d]$$

转换枚举变量为$d$,则
$$Ans=\sum _{d=1}^n\mu [d]\ast \sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }a[j\ast d]$$ ($d$为$i$的约数)

令
$$sum[x]=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{x}\rfloor }a[i\ast x]$$

则：
$$Ans=\sum _{d=1}^n\mu [d]\ast sum[d]$$
($d$为$i$的约数)

故询问的复杂度为: $O(\sqrt{n})$

而对于更新操作，只需要更新$sum$中下标为$i$的约数的元素值，复杂度为：$O(\sqrt{n})$

另外需要预处理$sum$和$\mu$，复杂度为$O(n)$

总复杂度：$O(n+q\sqrt{n})$

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代码：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
#define lson rt<<1
#define rson rt<<1|1

const int A = 1e5 + 10;
int a[A],sum[A],pri[A],mu[A],tot,n,q;
bool vis[A];

void init(){
    for(int i=0 ;i<=n ;i++) sum[i] = 0;
    for(int i=1 ;i<=n ;i++){
        for(int j=i ;j<=n ;j+=i){
            sum[i] += a[j];
        }
    }
    tot = 0,mu[1] = 1;
    for(int i=2 ;i<A ;i++){
        if(!vis[i]) pri[++tot] = i,mu[i] = -1;
        for(int j=1 ;j<=tot && i*pri[j] < A ;j++){
            vis[i*pri[j]] = 1;
            if(i%pri[j] == 0){
                mu[i*pri[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i*pri[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

void update(int x,int val){
    for(int i=1 ;i*i<=x ;i++){
        if(x%i == 0){
            sum[i] = sum[i] - a[x] + val;
            if(i*i != x){
                sum[x/i] = sum[x/i] - a[x] + val;
            }
        }
    }
    a[x] = val;
}

ll query(int x){
    ll ans = 0;
    for(int i=1 ;i*i<=x ;i++){
        if(x%i == 0){
            ans += mu[i]*sum[i];
            if(i*i != x){
                ans += mu[x/i]*sum[x/i];
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1 ;i<=n ;i++) scanf("%d",&a[i]);
    init();

    while(q--){
        int type;scanf("%d",&type);
        if(type == 1){
            int id,x;
            scanf("%d%d",&id,&x);
            update(id,x);
        }
        else{
            int id;
            scanf("%d",&id);
            printf("%lld\n",query(id));
        }
    }
    return 0;
}