codeforces 917D Stranger Trees 矩阵树定理+拉格朗日插值

题目分析

把原树连成完全图，在原树中的边边权为$x$，否则为$1$。假设一棵生成树的权值是该生成树中所有边的权值之积，若我们将所有生成树权值相加，那么$x^k$的系数就是含有$k$条原树边的树的个数。

现在我们假设边权代表这条边有多少重边，那么总生成树个数就是原来定义的生成树权值之和。总生成树个树可以用矩阵树定理求。

设$x=1,2,3...n$，代入后用矩阵树定理求解，然后再用拉格朗日插值还原出原多项式即可。

复杂度$O(n^4)$

代码

#include
using namespace std;
#define RI register int
const int mod=1e9+7;
int n,a[105][105],F[105],G[105],k1[105],k2[105];
struct edge{int x,y;}e[105];
int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
int ksm(int x,int y) {
    int re=1;
    for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod) if(y&1) re=1LL*re*x%mod;
    return re;
}

int guass() {
    int re=1;
    for(RI k=1;k<n;++k) {
        int id=k;while(!a[id][k]&&id<n) ++id;
        if(id!=k) swap(a[id],a[k]),re=qm(mod-re);
        for(RI i=k+1;i<n;++i)
            while(a[i][k]) {
                int tmp=a[k][k]/a[i][k];
                for(RI j=k;j<n;++j) a[k][j]=qm(a[k][j]-1LL*tmp*a[i][j]%mod+mod);
                swap(a[k],a[i]),re=qm(mod-re);
            }
        re=1LL*re*a[k][k]%mod;
    }
    return re;
}
int getY(int X) {
    for(RI i=1;i<=n;++i)
        for(RI j=1;j<=n;++j) a[i][j]=mod-1;
    for(RI i=1;i<=n;++i) a[i][i]=n-1;
    for(RI i=1;i<n;++i) {
        int x=e[i].x,y=e[i].y;
        a[x][y]=qm(a[x][y]-(X-1)),a[y][x]=qm(a[y][x]-(X-1)+mod);
        a[x][x]=qm(a[x][x]+(X-1)),a[y][y]=qm(a[y][y]+(X-1));
    }
    return guass();
}
void prework() {
    G[0]=1;
    for(RI i=1;i<=n;++i) {
        for(RI j=n;j>=1;--j) G[j]=qm(1LL*G[j]*qm(mod-i)%mod+G[j-1]);
        G[0]=1LL*G[0]*qm(mod-i)%mod;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(RI i=1;i<n;++i) scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
    prework();
    for(RI i=1;i<=n;++i) {
        int Y=getY(i),inv=1;
        for(RI j=0;j<=n;++j) k1[j]=G[j];
        for(RI j=n-1;j>=0;--j)
            k2[j]=k1[j+1],k1[j]=qm(k1[j]+qm(1LL*i*k2[j]%mod+mod));
        for(RI j=1;j<=n;++j) if(i!=j) inv=1LL*inv*qm(i-j+mod)%mod;
        int tmp=1LL*Y*ksm(inv,mod-2)%mod;
        for(RI j=0;j<n;++j) F[j]=qm(F[j]+1LL*tmp*k2[j]%mod);
    }
    for(RI i=0;i<n;++i) printf("%d ",F[i]);
    return 0;
}