扩展欧几里得算法超详解
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引言
欧几里得算法（gcd）
代码模板：
扩展欧几里得（exgcd）
代码模板：
通解形式为：
最小正整数解：
引言
什么是扩展欧几里得，听起来好高深，别急先从欧几里得下手；
欧几里得算法（gcd）
- 欧几里得算法的用处：求两个数的最大公约数；
- 原理：辗转相除法；
辗转相除法：用a除以b（这里是a>b,当然，在程序编程中，求两个数的最大公约数，可以不限a和b的大小，a
辗转相除法能够成立基于以下定理：
- Theorem：gcd（a,b）= gcd（b,a%b）
要想证明这个定理，需要知道两个引理：
- 若d是a和b的公约数，那么d也是b和c的公约数（c为a%b）
- 若d是b和c的公约数（c为a%b），那么d也是a和b的公约数
这两个引理的是什么意思呢，拿第一个来说；
假设一个数d是a的因子，也就是a=m*d，同时也是b的因子，b=n*d，那么a%d = a-w*b = (m-w*n)*d；
由此可得，a的因子集合、b的因子集合和c的因子集合是相同的；
然后利用上述定理当余数为0的时候，除数就是最大公约数；
可是为什么会出现余数为0的情况呢，为什么这个时候除数是最大公约数？？？？？
按照辗转相除法的方法如此循环下去，
因为每次的余数r肯定小于除数n
那么相当于每次的被除数（变为上次的除数）变小，
除数（变为上次的余数）也变小，而公因数的集合一直不变
也就是被除数和除数越来越小，而二者所包含的公共公因数集合又不
变，这样下去，除数总有一次会变为最大的公因数。
代码模板：
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
或者使用c++函数 __gcd();
扩展欧几里得（exgcd）
顾名思义extend—gcd，就是在欧几里得算法的过程基础上进行修改；
扩展欧几里得用途：
- 判断方程ax+by=m是否有解
- 求ax+by=m的任意一组解、通解、最小整数解
首先除了了解过欧几里得算法，还要知道裴属定理：
- ax+by=gcd(a , b)
即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。
换句话说，如果ax+by=m有解，那么m一定是gcd(a,b)的若干倍。（可以来判断一个这样的式子有没有解）
难道仅仅局限于知道是否有解么？当然好奇的人类是想知道在有解的情况下，这个解是多少，也就是x和y的值是多少；
扩展欧几里得就能实现（根据模板讲解吧）：
代码模板：
// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1; y = 0;
return a; //到达递归边界开始向上一层返回
}
int d = exgcd(b, a % b, x, y);
int temp=y; //推出这一层的x，y
y=x-(a/b)*y;
x=temp;
return d;
}首先当递归到达边界时，余数b==0，除数a就是最大公约数，此时可以得出来方程的一组解
x=1，y=0； ——> a*1+b*0=gcd(a,b)；
注意在递归中永远都是先得到上一层的结果状态
假设栈中当前层得到的解是x1，y1；那么 就要求下一层的结果状态了；代入方程得：
b*x1 + (a%b)*y1 = gcd(a,b)
—》b*x1+(a-(a/b)*b)*y1 = gcd(a,b)
—》a*y1+ b*(x1-(a/b)*y1) = gcd(a,b)
显而易见由上一层的解 x1,y1，可以推出下一层x，y的状态
x=y1 y= x1-(a/b)*y1
于是相邻的两个层之间的状态关系就出来了，ey~
由上述模板可以求出方程 ax+by=gcd(a,b) 的任意一组解x0，y0；那么方程ax+by=k的通解的形式是什么样的呢？
（ ax+by=k 中的k一定是gcd(a,b)的倍数，方程才会有解）
具体推导：扩展欧几里得求通解、最小正整数解
因为由 ax+by=gcd(a,b) 变成 ax+by=k 方程扩大了 k/gcd(a,b)倍，所以通过扩欧求出来的x0，y0也扩大了相同的倍数
x0=x0* (k/gcd(a,b)) y0=y0* (k/gcd(a,b))
通解形式为：
- x=x0+b/gcd(a,b) * n (相当于x每次可以增减：b/gcd的整数倍)
- y=y0+a/gcd(a,b) * n (相当于y每次可以增减：a/gcd的整数倍) 《注意：x求出来后，y通常由x代入方程求得》
最小正整数解：
- x=(x+b/gcd*n)%(b/gcd) = x%(b/gcd) （b/gcd(a,b)应取正）
- 若x<=0，则x+=b/gcd