2020牛客暑期多校训练营Social Distancing(平面几何，动态规划，打表)

Social Distancing

题目描述

输入描述:

输出描述:

示例1

输入

2
4 2
5 10

输出

64
2496

题目大意

给定一个圆的半径$r$，在圆上和圆内有$n$个点，要求$\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}d(i,j{)}^2$的最大值。其中$d(i,j)$表示$i$和$j$之间的距离。即求所有点的距离的平方和的最大值。

分析

这题据说许多大佬是用模拟退火打表就AC了，蒟蒻终究是蒻了，模拟退火是什么都不知道(话说有大佬能在线给个答案吗？)。但是$乐正绫$又是大佬，他提供了一种不用模拟退火的打表，而是用了神器动规，在此先%下了。(这个人是单人挑多校的)

首先我们先看看这些点是怎样取会使得答案最大。

上面给出了$n$从二到六的最大的分布。我们可以发现，点总是分布在圆上比较大。

然后我们确定了点肯定都是在圆上而不是圆内。
接下来观察这个式子：
$\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}d(i,j{)}^2$
其实为$\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n(x_i-x_j{)}^2+(y_i-y_j{)}^2$
其中$xy$为横纵坐标。
于是我们可以来推一推几个式子。
如果有$ab$两个数
则$(a-b{)}^2=a^2+b^2-2ab$

$abc$
则$(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(b-c{)}^2$
$=2(a^2+b^2+c^2)-2ab-2ac-2bc$
$=2(a^2+b^2+c^2)+a^2+b^2+c^2-(2ab+2ac+2bc+a^2+b^2+c^2)$
$=3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c{)}^2$
$\dots$以此类推

那么对于$\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n(x_i-x_j{)}^2+(y_i-y_j{)}^2$
其中$sigma$是可以转化的。可以变成
$n\ast \sum _{i=1}^n(x_i^2+y_i^2)-(\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^2-(\sum _{i=1}^n{y}_i{)}^2$
然后可以用$dp$解了。

代码

#include
#define ll long long
#define inf 1<<30
using namespace std;
int dp[9][610][610],ans[50][50];
int main()
{
    int t;
    vector<pair<int,pair<int,int> > > cur;//禁止套娃
    for(int i=-32;i<=32;i++)
        for(int j=-32;j<=32;j++)
            cur.push_back(make_pair(i*i+j*j,make_pair(i,j)));
    int s=0;
    sort(cur.begin(),cur.end());
    for(int i=0;i<9;i++)
        for(int j=0;j<600;j++)
            for(int k=0;k<600;k++)
                dp[i][j][k]=-2e9;
    dp[0][300][300]=0;
    for(int r=1;r<=30;r++){//半径
        while(cur[s].first<=r*r){
            for(int i=1;i<=8;i++)
                for(int j=300-r*i;j<=300+r*i;j++)
                    for(int k=300-r*i;k<=300+r*i;k++)
                        dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i-1][j-cur[s].second.first][k-cur[s].second.second]+cur[s].first);
            s++;
        }
        for(int n=1;n<=8;n++)
            for(int h=0;h<600;h++)
                for(int l=0;l<600;l++)
                    if(dp[n][h][l]>0)
                        ans[n][r]=max(ans[n][r],dp[n][h][l]*n-(h-300)*(h-300)-(l-300)*(l-300));
    }//打表，慢不要慌，时限很长的
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n,r;
        scanf("%d%d",&n,&r);
        printf("%d\n",ans[n][r]);
    }              
}

END

回想起来，乐正绫真的NB，单人怼得比多人六，%%%