[线性相关] 皮尔森相关系数的计算及假设检验

皮尔森相关系数，又称积差相关系数、积矩相关系数，可以看做将两组数据首先做Z分数处理之后, 然后两组数据的乘积和除以样本数Z分数一般代表正态分布中, 数据偏离中心点的距离.等于变量减掉平均数再除以标准差。按照大学的线性数学水平来理解, 它比较复杂一点,可以看做是两组数据的向量夹角的余弦。

从以上解释，也可以理解皮尔逊相关的约束条件:

1、两个变量间有线性关系

2、变量是连续变量

3、两个变量的总体均符合正态分布：取大样本进行正态分布非参数检验

4、两变量独立

在实践统计中，一般只输出两个系数，一个是相关系数，也就是计算出来的相关系数大小，在-1到1之间；另一个是独立样本检验系数，用来检验样本一致性。

 

现举例说明计算相关系数的一般步骤：

　　例9.1　测定15名健康成人血液的一般凝血酶浓度（单位/毫升）及血液的凝固时间（秒），测定结果记录于表9.1第（2）、（3）栏，问血凝时间与凝血酶浓度间有无相关？

　　1．绘图，将表9.1第（2）、（3）栏各对数据绘成散点图。

　　2．求出∑X、∑Y、∑X²、∑Y²、∑XY，见表9.1下方。

　　3，代入公式，求出r值。

表9.1　相关系数计算表

受试者号 （1）	凝血酶浓度(单位/毫升)X （2）	凝血时间(秒)Y （3）
1	1.1	14
2	1.2	13
3	1.0	15
4	0.9	15
5	1.2	13
6	1.1	14
7	0.9	16
8	0.9	15
9	1.0	14
10	0.9	16
11	1.1	15
12	0.9	16
13	1.1	14
14	1.0	15
15	0.8	17
合计	15.1	222

                                                                                                                                       

                                                                                                                                        ∑X=15.1　∑Y=222

∑XY=221.7　
　∑X²=15.41∑Y²=3304　　　　

　　本例的相关系数r=-0.9070，负值表示血凝时间随凝血酶浓度的增高而缩短；绝对值∣-0.9070∣表示这一关系的密切程度。至于此相关系数是否显著，则要经过下面的分析。

　　（二）相关系数的假设检验

　　虽然样本相关系数r可作为总体相关系数ρ的估计值，但从相关系数ρ=0的总体中抽出的样本，计算其相关系数r，因为有抽样误差，故不一定是0，要判断不等于0的r值是来自ρ=0的总体还是来自ρ≠0的总体，必须进行显著性检验。检验假设是ρ=0，r与0的差别是否显著要按该样本来自ρ=0的总体概率而定。如果从相关系数ρ=0的总体中取得某r值的概率P>0.05，我们就接受假设，认为此r值的很可能是从此总体中取得的。因此判断两变量间无显著关系；如果取得r值的概率P≤0.05或P≤0.01，我们就在α=0.05或α=0.01水准上拒绝检验假设，认为该r值不是来自ρ=0的总体，而是来自ρ≠0的另一个总体，因此就判断两变量间有显著关系。

　　由于来自ρ-0的总体的所有样本相关系数呈对称分布，故r的显著性可用t检验来进行。本例r=-0.9070，进行t检验的步骤为：

　　1．建立检验假设，H₀：ρ=0，H₁：ρ≠0，α=0.01

　　2．计算相关系数的r的t值：

　　（9.3）

　　3．查t值表作结论

　　ν=n-2=15-2=13

　　根据专业知识知道凝血酶浓度与凝血时间之间不会呈正相关，故宜用单侧界限，查t值表得

　　t_0.01,13=2.650

　　今∣t_r∣>t_0.01,13，P<0.01，在α=0.01水准上拒绝H₀，接受H₁，故可认为凝血时间的长短与血液中酶浓度有负相关。

　　为简化t_r检验的计算过程，数理统计工作者根据t分配表，已把不同自由度时r的临界值求出，并列成相关系数界值表（见附表11）。故求相关系数后，只需查表就可知道该r值是否显著，而不必再计算t_r值。

　　r的显著性界限为

　　|r|0.05,　P>0.05　相关不显著

        r_0.05≤|r|<r0.01,0.05≥P>0.01　在α=0.05水准上相关显著

　　|r|≥r_0.01,P≤0.01　在α=0.01水准上相关显著

　　例9.1的ν =15-2=13，查附表11中P^（1）的界值，得：

　　r_0.05,13=0.441     r_0.01,13=0.592

　　现r=-0.9070,∣r∣>r_0.01,13,P<0.01,按α=0.01水准，拒绝H_O,接受H₁。认为ρ≠0，说明凝血时间的长短与血液中凝血酶浓度有负相关。结论与计算所得一致。

　　相关系数的显著性与自由度的大小有关，如n=3,ν=1时，虽r=-0.9070，却为不显著；若ν=400时，即使r=0.1000，亦为显著。因此不能只看r的值，不考虑ν就下结论。