循环矩阵与傅里叶变换

无意之间看到的一个结论，还挺有意思，来搬运一下。

定理

设$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_0& a_1& \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_0& \cdots & a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_1& a_2& \cdots & a_0\end{array}\right),f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}$$
则$A$的特征值组成的集合为$$\{f({\omega }_n^i)|0\le i<n\}$$
其中${\omega }_n$为$n$次单位根，$A$的特征向量的一组基为$$\{(w_n^0,w_n^i,w_n^{2i},\cdots ,w_n^{(n-1)i})|0\le i<n\}$$
即$A$可对角化为$W^{-1}DW$，其中$W$为傅里叶变换的矩阵，$D$为傅里叶变换后的点值所组成的矩阵。

证明

直接搬运了。