2020牛客多校第八场E-Enigmatic Partition(隔项差分)

Description

Solution

• 由题意
  
  ${}_{\therefore }n=a_1\ast b_1+a_2\ast b_2+a_3\ast b_3$
  ${}_{\because }{a}_1+2=a_2+1=a_3$
  ${}_{\therefore }n=a_1\ast (b_1+b_2+b_3)+b_2+b_3\ast 2=a\ast m+b_2+b_3\ast 2$

以$a=1,m=7$为例

$n$	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
5个3									1233333
4个3							1123333	1223333
3个3					1112333	1122333	1222333
2个3			1111233	1112233	1122233	1222233
1个3	1111123	1111223	1112223	1122223	1222223
$num$	1	1	2	2	3	2	2	1	1	0	0	0
差分序列	1	0	1	0	1	-1	0	-1	0	-1	0	0
隔项差分	1	0	0	0	0	-1	-1	0	0	0	0	1
对应位置	am+3	0	0	0	0	(a+1)m+1	(a+1)m+2	0	0	0	0	(a+2)m

• 所以我们只用在对应位置上加减，最后再还原为原序列即为$f(n)$
• 数据范围允许我们预处理出$f(n)$的前缀和，$O(1)$查询

Details

• $(a+2)\ast m$等项处理时可能超出$N$,适当扩大内存
• 为避免判$a\le \frac{N}{m}$时整除与否带来的问题，我们把$a\ast m$合在一起处理，即for(a=m;a

Code

#include 
#include 
#define ll long long
const int N=1e5+10;
ll T,cas,l,r,s[N<<1],f[N<<2];
int main()
{
	register int i,m,a;
	for(m=3;m<N;++m)for(a=m;a<N;a+=m) ++f[a+3],++f[a+2*m],--f[a+m+1],--f[a+m+2];
	for(i=3;i<N;++i) f[i]+=f[i-2];
	for(i=1;i<N;++i) f[i]+=f[i-1];
	for(i=1;i<N;++i) s[i]=s[i-1]+f[i];
	scanf("%lld",&T);
	while(T--) scanf("%lld%lld",&l,&r),printf("Case #%d: %lld\n",++cas,s[r]-s[l-1]);
}

Summary

$kuangbin$的题总是很考验思维，想清楚了就是签到题