高斯消元原理

高消一直是ACM中高层次经常用到的算法，虽然线性代数已经学过，但高消求解的问题模型及高消模板的应用变化是高消的最复杂之处。

先介绍一下高消的基本原理：引入互联网czyuan的帖子：

高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。

高斯消元法的原理是：

若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。

所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。

 

以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。

 

首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：

(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)

 

1. 把方程组转换成增广矩阵。

 

2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。

枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。

 

3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。

 

① 无解

当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。

 

② 唯一解

条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。

 

③ 无穷解。

条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。

    这里单独介绍下这种解法：

首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。

 

以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。

以上czyuan帖子的基本原理就介绍完了。

 

 

 

--------------------------我对上面的步骤做一下说明-------------------------------------------

高斯消元求解的详细步骤：

1）  不用说了，对增广矩阵先消元，化为行阶梯矩阵。

很多人认为这就行了，但有时存在如下情况：

   1  2   3  4  3

   0  1   2  3  3

   0  0   0  1  2

   0  0   0  0  0

消元后的矩阵化为行阶梯，上面主对角线元素的主元并没有连续，还应将第4列和第3列交换才行。

这是网络上很多的模板所没有的，也是造成关键时候出错的根源所在。

所以模板还要增加对列进行检查的代码。

2） 消元完成后，判断是否有解，分三种，无解，有1个解和有无穷多解。

3） 对于有唯一解和有无穷多解的时候，都要回带。

啥是回带？ 详细说明之。

1  2   3  4  3         1  2  4  3   3

0  1   2  3  3         0  1  3  2   3

0  0   0  1  2--------》  0  0  1  0   2 ------》消元后的矩阵------发现有无穷解

0  0   0  0  0         0  0  0  0   0

（行阶梯）              （交换列）

 

 

因为4个变量，才3行，4-3=1> 0    ,有无穷多解啊。

如果第4行不都是0，回带可以求出这个唯一解。如下：

X1   x2   x3   x4   b1

0    x2   x3   x4   b2

0    0    x3   x4   b3

0    0    0    x4   b4

最后1行，有x4=b4;

第3行： x4+x3=b3,已经求出x4=b4了，带入第3行，可求出x3;同理，把x4  x3 带入第2行，还可求出x2;把x4  x3  x2  带入到第1行，可求出x1;

这就是回带。

回带总结：从最后1行，逐一往回带，从最后1行代回到第1行。

 

最关键的时候到了：当无穷多解时，最后几行都是0；没法回带；而某些题目在无穷多解时还要你求最小或最优解，没办法，就得枚举最后行为0的那几个解；

如：

 

  1  2  4  3   3

  0  1  3  2   3

  0  0  1  0   2  

  0  0  0  0   0

可见最后的x4没法解，如果题中给定x4的范围，那就枚举x4，然后回带；枚举1次x4就回带1次得到一组（x1  x2  x3  x4 ）;然后根据题意找最优的，具体题目具体分析。