2017 Chinese Multi-University Training, BeihangU Contest 北大 多校 gym 102253

2017 Chinese Multi-University Training, BeihangU Contest

D. Division Game

显然p是没用的。记$f(x)$为对大小为N的石子操作x次后不为0的方案数，那么显然$f(x)$也是$x+1$步变成$1$的方案数。那么对于每个$e_i$，做$x$步后大于$1$就是把$e_i$分割成$x+1$段，对于每个单独$e_i$某一段大小可以是0，所以大小应该是

$$g(x)=\Pi C_{e_i+x}^x$$

但我们知道不能所有$e_i$分割后同一段都是0。那么考虑容斥，即我可以在$x+1$段中选$j$段使这$j$段是0。容斥后得到答案

$$f(x)=\sum _{j=0}^{x}g(x-j+1)\ast C_{x+1}^j\ast (-1{)}^j$$

NTT求出F。

E. Expectation of Division

与D题相同，答案与$p_i$无关，只和次数$e_i$有关。不同的质因子不超过20个，假设不同质因子有m个。
$$N={\Pi }_{i=1}^m{p}_i^{e_i}$$
考虑m维dp ，$dp(x)$表示当前状态$x$变成1的期望操作数，其中$x$为一个$m$维向量$(e_1,e_2,...,e_m)$。注意这道题一次操作可以不变，那么
$$dp(x)=\frac{{\sum }_{y<x}dp(y)}{\Pi (e_i+1)}+\frac{1}{1-\frac{1}{\Pi (e_i+1)}}$$
考虑到$10^{24}<2^{80}$，但实际上并不需要每一维度都有这么大，暴力搜索出所有可行状态，大约有$1.7\ast 10^5$个，维护高维前缀和转移即可。

G. Gear Up

每棵树固定根，只需要维护每个点的相对角速度即可。修改一个齿轮大小会影响子树的相对角速度，对每个点标记dfs序，强制先访问与自己角速度相同的点，那么每次只用修改一段连续的区间即可。

I. I Curse Myself

由于保证了边最多出现在一个简单环了，那么这是一个边仙人掌。把所有环拿出来，生成树就是在每个环上去掉一条边。那么重新构图，把每个环上所有边并联在两点之间，问题转化成第K短路。

J. Journey with Knapsack

生成函数，只需要求出多项式
$${\Pi }_{i=1}^n\frac{1-x^{(a_i+1)\ast i}}{1-x^i}={\Pi }_{i=1}^n(1-x^{(a_i+1)\ast i})\ast {\Pi }_{i=1}^n\frac{1}{1-x^i}$$
的前$2n$项系数。
乘法左右两边分开处理。
由于保证了$a_i<a_{i+1}$，那么$a_i>=i-1$
因此当$i>\sqrt{2n}$时不会对前$2n$项系数产生影响。
$${\Pi }_{i=1}^n(1-x^{(a_i+1)\ast i})\to {\Pi }_{i=1}^{\sqrt{2n}}(1-x^{(a_i+1)\ast i})$$
$O(n\sqrt{n})$暴力计算即可。
${\Pi }_{i=1}^n\frac{1}{1-x^i}$是正整数拆分的生成函数，直接计算正整数拆分即可。$O(n\sqrt{n})$