牛客多校第九场C-Groundhog and Gaming Time

Description

Solution

计算期望有两种常用方法，计算贡献和期望DP，这里我们选择前者，后者可参考官方题解
我们把区间左右端点升序排序，考虑每一段区间的贡献
设区间$Q$出现在$a$个线段中
$P(Q)=\frac{2^a-1}{2^n}$，减一是因为不能全部不选
$\therefore E(Q)=\frac{2^a-1}{2^n}\ast |Q|$
那么在$n$条线段中，$P_i$的贡献（$b_i$条线段包含$Q$）
$|P_i|\ast \sum E(Q)$
$=|P_i|\ast {\sum }_j(\frac{2^{b_j}-1}{2^n}\ast |Q_j|)$
$=|P_i|\ast {\sum }_j(\frac{2^{b_j}}{2^n}\ast |Q_j|)-|P_i|\ast mx$
我们用线段树维护$2^{b_i}$（区间乘or除），最后除$2^n$并减掉$mx$

#include 
#define ll long long
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
using namespace std;
const int N=1e6+10,P=998244353,inf=2e9;
ll p[N],n,m=2,l[N],r[N],tl[N],tr[N];
struct Seg{int l,r;ll val,mul;}T[N<<2];
void up(int x){T[x].val=(T[ls].val+T[rs].val)*T[x].mul%P;}
void build(int x,int l,int r)
{
	T[x].l=l,T[x].r=r,T[x].val=p[r+1]-p[l],T[x].mul=1;
	if(l==r) return ;
	int m=l+r>>1;
	build(ls,l,m),build(rs,m+1,r),up(x);
}
void modify(int x,int l,int r,ll w)
{
	if(T[x].l==l&&r==T[x].r){
		T[x].val=T[x].val*w%P;
		T[x].mul=T[x].mul*w%P;
		return ;
	}
	int m=T[x].l+T[x].r>>1;
	if(r<=m) modify(ls,l,r,w);
	else if(l>m) modify(rs,l,r,w);
	else modify(ls,l,m,w),modify(rs,m+1,r,w);
	up(x);
}
bool cmpl(int x,int y){return l[x]<l[y];}
bool cmpr(int x,int y){return r[x]<r[y];}
ll ksm(ll a,ll b){
	ll ret=1ll;
	while(b){if(b&1ll)ret=ret*a%P;a=a*a%P,b>>=1ll;}
	return ret;
}int main(){
	scanf("%lld",&n),p[1]=0,p[2]=inf;
	ll inv=ksm(2,P-2);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",l+i,r+i);
		p[++m]=l[i];
		p[++m]=++r[i];
		tl[i]=tr[i]=i;
	}
	sort(p+1,p+m+1);
	m=unique(p+1,p+m+1)-p-1;
	build(1,1,m-1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		l[i]=lower_bound(p+1,p+m+1,l[i])-p;
		r[i]=lower_bound(p+1,p+m+1,r[i])-p;
	}
	sort(tl+1,tl+n+1,cmpl);
	sort(tr+1,tr+n+1,cmpr);
	int t1=1,t2=1;
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<m;++i){//遍历区间[i,i+1]，维护包含该区间的线段的交集的期望。这个期望通过计算所有区间的贡献和得到 
	//从m个线段，找出a个线段包含区间[i,i+1]。计算这a个线段的交集的期望，等于每个区间的贡献总和。
	//a个线段，有b个线段覆盖区间[j,j+1]，则区间[j,j+1]的贡献 = 长度*(2^b-1)/2^n。其中-1和/2^n最后再去除 
		for(;t1<=n&&l[tl[t1]]<=i;++t1) modify(1,l[tl[t1]],r[tl[t1]]-1,2);
//		printf("%d %d %lld\n",t1,t2,ans);
		for(;t2<=n&&r[tr[t2]]<=i;++t2) modify(1,l[tr[t2]],r[tr[t2]]-1,inv);
		ans=(ans+T[1].val*(p[i+1]-p[i])%P)%P;
//		printf("%d %d %lld %lld\n",t1,t2,ans,T[1].val);
	}ans=(ans+P-1ll*inf*inf%P)%P;
	printf("%lld\n",ans*ksm(inv,n)%P);
}