组合数学学习之错位排列（持续更新）

全错位排列有三种解法，嘿嘿，那我就要一探究竟！

一、递推

        假设排列是1,2,3,4···n个数，Dn表示n个数的全错位排列的方法数。D1 = 0、D2 = 1

        那么对于第1个位置，假设由k去占。现在就有两种情况：

       1）、1和k互换了位置，k占1的位置，1占k的位置：那么此时相当于1和k位置确定，只需要讨论Dn-2的排列数。

       2）、1没有占k的位置，而是占了其它的位置：那么此时相当于只确定了k的位置，需要讨论Dn-1的排列数。

       但是有（n-1）个数需要讨论，所以可以得到下面的递推式：

       

       然后等价变形为（两边同时处以n！，然后再移项整理）：

       

       然后展开递推式就可以得到错位排序的通项公式了。  

二、容斥原理

        记N(a1,a2,···,an)为n个数都没排错的方法数，那么对于以下情况，可以得到一些结论：

        a1排对，记N(a1)=(n-1)!。因为a1已经排对了，那么还剩下(n-1)个位置让其它数排，所以有(n-1)!的排法。

        a1、 a2排对，记N(a1,a2)=(n-2)!

        a1、a2、a3排对，记N(a1,a2,a3)=(n-3)!

        ·

        ·

        ·

        a1，a2，···，an排列错位，记为N(a1,a2,···,an)=(n-n)!

       推广一下，对于任意t个数，可得下面的等式：

        

        那么如何求Dn呢？可知n个数的排列方法数为n！。由容斥原理，用总的排列数，减去排对的数，得到的就是排错的数，可得下面的公式：

        

整理一下一或者二的等式，便可以得到Dn的通项公式了：

   

三、利用母函数球递推关系（有点复杂，就是代数法喽）

下面是一些练习题：Hdu 2048 神、上帝和老天爷

参考资料：

     《应用组合数学》F.S Roberts

     《容斥原理在错位排列中的应用》 廖虎