积性函数 hdu5528 Count a * b
积性函数太有趣了!
做这个题之前，我们需要掌握一些基本知识。
1.若f(x)为积性函数，那么满足f(xy)=f(x)f(y)
2.若f(x)为积性函数， g(x)=∑d|xf(d) ，那么g(x)也为积性函数
3.学会如何线性处理积性函数。
4.对于积性函数，目标就是学会如何求 f(pq) ，p为质数
回到这个题，我们先考虑求f函数
f(m)=∑m−1a=0∑m−1b=0[gcd(m,ab)!=m]
我们考虑a b的所有组合，一共 m2 情况
考虑f函数的反面，即 f(x)′=∑m−1a=0∑m−1b=0[gcd(m,ab)==m]
若 gcd(m,a)=d ,那么如果满足 gcd(m,ab)=m ,必有 md|b
满足 gcd(m,a)=d 的a个数为 φ(md)
在上面情况满足下且满足 md|b ，b的个数为d
得到 f(m)=m2−∑d|md∗φ(d)
能发现前者和后者都是积性函数，拆成2部分记为f1,f2
然后g函数也拆成2部分，记为g1,g2
因为我们知道g1和g2是积性的，所以很容易打表就能找到规律(QAQ太弱了，推不出来，只能打表)
得到
g1(pq)=g1(pq−1)∗p2+1
g2(pq)=(q+1)∗pq
这题就做完啦
#include
#include
#include int> pli;
typedef std::pair<int, int> pii;
typedef unsigned long long ull;
typedef std::pair<double, double> pdd;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
const int mod = 1e9 + 7;
const int MX = 4e4 + 5;
int prime[MX], psz;
bool not_prime[MX];
void prepare() {
not_prime[1] = true;
for(int i = 2; i < MX; i++) {
if(!not_prime[i]) {
prime[++psz] = i;
}
for(int j = 1; j <= psz && (ll)i * prime[j] < MX; j++) {
int x = i * prime[j];
not_prime[x] = true;
if(i % prime[j] == 0) break;
}
}
}
ull solve(int n) {
ull g1 = 1, g2 = 1;
for(int i = 1; i <= psz && (ll)prime[i]*prime[i] <= n; i++) {
if(n % prime[i] == 0) {
int p = prime[i], q = 0;
while(n % prime[i] == 0) {
q++; n /= prime[i];
}
ull f1 = 1, f2 = q + 1;
for(int j = 1; j <= q; j++) {
f1 = f1 * p * p + 1;
f2 = f2 * p;
}
g1 *= f1; g2 *= f2;
}
}
if(n != 1) {
int p = n;
g1 *= (ull)p * p + 1;
g2 *= 2 * p;
}
return g1 - g2;
}
int main() {
// FIN;
prepare();
int T; scanf("%d", &T);
while(T--) {
int n; scanf("%d", &n);
printf("%llu\n", solve(n));
}
return 0;
}