蓝桥杯 算法训练 乘积最大（动态规划）

问题描述

　　今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

　　设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

　　同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

　　有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

　　3*12=36
　　31*2=62

　　这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

　　现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式

　　程序的输入共有两行：
　　第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
　　第二行是一个长度为N的数字串。


输出格式

　　输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

　　 样例输入

　　4 2
　　1231

样例输出

       62

我们用dp数组存储当前状态，dp[i][j]表示长度为i+1的字符串填入j个乘号所得的最大值。

众所周知，动态规划就是将原问题分解为子问题的过程。所以我们先寻找动态规划的最小子问题，当j==0时，显然，所求得的数就是给出的字符串。

此时我们继续寻找状态转移方程，如何将原问题分解为子问题？我们发现长度为i的字符串填入j个乘号所得值等于长度为u的字符串（u小于i）填入j-1个乘号所得值乘以u+1到i的字符串代表的数，此时我们再自定义change（i，j）函数返回数组从第i个元素到第j个元素形成的整数，可得状态转移方程dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[u][j-1]*change(u+1,i))，全题代码如下：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
char num[45];
long long int change(int a,int b)
{
    long long int sum=0;
    for(int i=a;i<=b;i++)
    {
        sum*=10;
        sum+=num[i]-'0';
    }
    return sum;
}
int main()
{
    long long int dp[45][8];
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    getchar();
    for(int i=0; i    {
        scanf("%c",&num[i]);
        dp[i][0]=change(0,i);
    }
    for(int i=1;i    {
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            for(int u=0;u            {
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[u][j-1]*change(u+1,i));
            }
        }
    }
    printf("%I64d",dp[n-1][k]);
    return 0;
}