置换群题集

POJ1026

题意:对字符串按照置换操作k次,求最后的结果。

题解

  • 求出每一个位置循环的长度,最后操作时,k对长度取模为k'。只需要变换k'次即可。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int const N = 200 + 10;
int n,k,a[N],len[N];
char t[N],s[N],ans[N];
int main(){
	while(~scanf("%d",&n) && n){
		memset(len,0,sizeof(len));
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			int j = i,cnt = 0;
			do{
				cnt++;
				j = a[j];
			}while(j != i);
			len[i] = cnt;   //求每一个循环的长度
		}
		while(scanf("%d",&k) && k){
			getchar();
			gets(t);
			int l = strlen(t);
			for(int i=0;i

UVA10294

题解

  • 关于旋转变化。每次可以旋转i = 0,1,2……n-1。对于每一个i,旋转产生的循环个数为gcd(n,i),t种颜色,不动点个数为t^gcd(n,i)。所以等价类为(∑t^gcd(n,i)) / n。
  • 关于对称变化,如果n为奇数,那么有n条对称轴。每条对称轴产生n/2个长度为2的循环和一个长度为1的循环,不动点个数为t^(n/2+1)。所以总共的等价类为(n * t^(n/2+1)) / n。如果n为偶数,有n条对称轴,其中n/2条经过一个点和一条边,和奇数情况一样。另外一种是经过两个顶点,产生n/2个长度为2的循环。
  • 预处理t的阶乘。

代码

#include 
using namespace std;
int const N = 50 + 5;
typedef long long ll;
ll p[N];
int n,t;
int main(){
	while(~scanf("%d%d",&n,&t)){
		p[0] = 1;
		for(int i=1;i

UVA11077

题意:给定n和k,统计有多少的排列至少需要交换k次才能变成{1,2,3……,n}

题解

  • 对于一个循环长度为len,至少需要交换len-1次。所以循环的个数为x,所以至少需要交换(n-x)次。
  • dp[i][j]表示有多少个长度为i的排列至少需要交换j次才能变成{1,2,……i}。初始化dp[1][0] = 1,dp[1][j] = 0 (j!=1)。
  • 状态转移为dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] * (i - 1)。前者表示i单独一个循环,所以不改变交换此时。后者表示插入到前面的任意一个位置,有i-1种情况。比如1->2->3->1,插入x。有1->x->2->3->1,1->2->x->3->1,1->2->3->x->1
  • 最后答案为dp[n][k]

 代码

#include 
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
int const N = 30;
int n,k;
ll dp[N][N];
int main(){
	dp[1][0] = 1;
	for(int i=2;i 0)	dp[i][j] += dp[i-1][j-1] * (i - 1);
	}
	while(~scanf("%d%d",&n,&k) && n || k)		printf("%llu\n",dp[n][k]);
	return 0;
}

POJ3270

题意:每次交换都会产生一定代价,求代价最小

题解

  • 交换和上面一样使用置换群,首先要离散化。
  • 为使代价最小,有两种策略。
  • 1、一个循环都与内部最小的交换,需要交换len-1次。
  • 2、一个循环都与整体的最小值交换,需要len次。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int const inf = 0x7f7f7f7f;
int const N = 10000 + 10;
int a[N],b[N],c[N],n,ans,vis[N],minx;
vectorv;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	minx = inf;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		minx = min(minx,a[i]);
		v.push_back(a[i]);	
	}
	sort(v.begin(),v.end());
	v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int k = lower_bound(v.begin(),v.end(),a[i]) - v.begin();
		b[i] = k + 1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i])	continue;
		int j = i,s = 0,mx = inf,cnt = 0;
		do{
			s += a[j];
			cnt++;
			vis[j] = true;
			mx = min(mx,a[j]);
			j = b[j];
		}while(i != j);
		ans = ans + min((s - mx) + mx * (cnt - 1),s + minx * cnt + mx + minx);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

HDU5495

题意:最长公共序列

题解

  • 对于序列ai和bi,来一个映射mp[a[i]] = b[i]。结果就是每个循环的长度减1,再求和。注意循环长度为1的时候不用减1。
  • 原理很简单,举例子题目中的
    1 5 3 2 6 4
    3 6 2 4 5 1
  • 变换一下
    1 3 2 4 5 6
    3 2 4 1 6 5
  • 一目了然

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int const N = 100000 + 10;
int n,mp[N],a[N],b[N];
bool vis[N];
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&b[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			mp[a[i]] = b[i];
		int ans = 0;
		memset(vis,false,sizeof(vis));
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(vis[i])	continue;
			int j = i,	cnt = 0;
			do{
				cnt++;
				vis[j] = true;
				j = mp[j];
			}while(j != i);
			if(cnt == 1)	ans += cnt;
			else ans += cnt - 1;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

LA3641

题解

  • n为偶数,平方后分解成两个长度相同的循环。
  • n为奇数,不会分解。
  • 所以一个置换能否开方,只要判断偶数的循环能否成对即可。

代码

#include 
using namespace std;
int const N = 30;
char s[N],cnt[N];
bool vis[N];
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf(" %s",s);
		memset(vis,false,sizeof(vis));
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		for(int i=0;i<26;i++){
			if(vis[i])	continue;
			int j = i;
			int n = 0;
			do{
				vis[j] = true;
				j = s[j] - 'A';
				n++;
			}while(j != i);
			cnt[n]++;
		}
		bool flag = true;
		for(int i=2;i<26;i+=2)
			if(cnt[i] % 2)	flag = false;
		if(flag)	printf("Yes\n");
		else	printf("No\n");
	}	
	return 0;
}

POJ1721

题意:n为奇数,p经过s次开方运算的得到q。已知q,求p。

题解

  • 一定存在循环,可以暴力去找。或者利用结论,当gcd(n,k)互质,当k%n = 0,T^k = e。所以当k%n = 1,T^k = T。
  • 因为一次洗牌是平方,所以我们设洗牌x次变为本身,即2^x次置换。那么x满足2^x % n = 1。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int const N = 1000 + 10;
int n,s,a[N],b[2][N],cnt;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&s);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	int len = 1,p = 2;
	if(n != 1){
		while(1){
			if(p % n == 1)	break;
			len++;	p = p * 2 % n;
		}
	}else	len = 0;   //x
	int tmp;
	if(len)	tmp = len - s % len;
	else	tmp = len;
	cnt = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)	b[cnt][i] = a[i];
	for(int i=1;i<=tmp;i++){   //滚动数组
		cnt ^= 1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			b[cnt][i] = b[cnt^1][b[cnt^1][i]];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d\n",b[cnt][i]);
	return 0;
}

CF612E

题意:判断置换能否开方,并且求出一种开方结果。

题解

  • 首先判断能否开方,和LA3641的思路是一样。然后麻烦的是合并。
  • 对于奇数的循环,可以内部合并,因为它不会分解。对于(1 3 5 7)开方就是(1 5 3 7)每次向前移动2步。
  • 对于偶数的循环,可以两两合并。比如(1 2)(3 4)可以合成为(1 3 2 4)。
  • 具体见代码。

代码

#include 
using namespace std;
int const N = 1e6+ 10;
int n,a[N],ans[N];
bool vis[N];
vectorbucket[N],b[N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){    //第一遍统计循环的个数
		if(vis[i])	continue;
		int j = i,cnt = 0;
		do{
			vis[j] = true;
			cnt++;
			b[i].push_back(j);
			j = a[j];
		}while(i != j);
		bucket[cnt].push_back(i);   
	}
	for(int i=2;i<=n;i+=2){
		if(bucket[i].size() & 1){
			printf("-1\n");
			return 0;
		}
	}	
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	for(int i=0;i

POJ2369

题解

  • 一个循环经过T^k = e,k为循环长度。所以只需要求出所有长度的最小公倍数即可。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int const N = 1000 + 10;
int n,a[N],ans;
bool vis[N];
int lcm(int a,int b){
	return a / __gcd(a,b) * b;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	ans = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i])	continue;
		int j = i,	cnt = 0;
		do{
			cnt++;
			vis[j] = true;
			j = a[j];
		}while(i != j);
		ans = lcm(ans,cnt);
	}	
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

 

你可能感兴趣的:(数论)