洛谷P1388 算式
题目描述
给出\(N\)个数字，不改变它们的相对位置，在中间加入\(K\)个乘号和\(N-K-1\)个加号，（括号随便加）使最终结果尽量大。因为乘号和加号一共就是\(N-1\)个了，所以恰好每两个相邻数字之间都有一个符号。例如：
\(N=5\), \(K=2\)，5个数字分别为1、2、3、4、5，可以加成：
\(1*2*(3+4+5)=24\)
\(1*(2+3)*(4+5)=45\)
\((1*2+3)*(4+5)=45\)
……
输入输出格式
输入格式：
输入文件共有二行，第一行为两个有空格隔开的整数，表示\(N\)和\(K\)，其中\((2 \leq N \leq 15, 0 \leq K \leq N-1)\)。第二行为 \(N\)个用空格隔开的数字（每个数字在0到9之间）。
输出格式：
输出文件仅一行包含一个整数，表示要求的最大的结果
最后的结果$ \leq maxlongint$
思路
蒟蒻我认为这一题很难
这题普遍有两种思路
第一种是dp第\(i\)个点前面有\(j\)个\(*\)号的时候最大的值是多少
这个状态可以由含有\(q\)个\(*\)的区间A和含有\(j-q-1\)个\(*\)的区间B相乘得到，或者由含有\(j\)个\(*\)的区间A和含有0个\(*\)的区间B相加得到。
也就是\[f_{i,j}= \max{\{ \max_{k=j}^{i-1}{\{f_{k,j-1} * \sum_{q=k+1}^{i}{a_{q}}\}}, \max_{k=j+1}^{i-1}{\{f_{k,j} + \sum_{q=k+1}^{i}{a_{q}}\}}\}}\]
代码如下
for(j=1;j<=m;j++){
for(i=j+1;i<=n;i++){
for(k=j;k=j+1) f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j]+sum[i]-sum[k]);
}
}
}
//sum是前缀和 但是这样的代码在洛谷上提交只能得81分，o(╥﹏╥)o
可以发现如下数据可以卡掉这个程序:5 2
0 0 1 0 0
为了处理这种情况，我发现可以有一种贪心，遇到连续的0的时候就默认把一个\(*\)插到两个0中间，就像这样:
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 51
typedef long long int lli;
lli f[MAXN][MAXN];
int nums[MAXN],sum[MAXN];
int i,j,k,m,n,r,t;
bool flag;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
flag=false;
for(i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",nums+i);
if(nums[i]==0){
if(!flag){
flag=true;
}else{
i--;
n--;
m--;
}
}else{
flag=false;
}
}
sum[0]=0;
for(i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+nums[i];
for(i=1;i<=n;i++) f[i][0]=sum[i];
for(j=1;j<=m;j++){
for(i=j+1;i<=n;i++){
for(k=1;k=j+1) f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j]+sum[i]-sum[k]);
}
}
}
printf("%lld\n",f[n][m]);
return 0;
} 可是很遗憾，我们提交这一份代码，会发现还是被卡掉了一个点，我并不知道是什么数据卡掉了这一个点，但他确实被卡掉了。有人通过用特判的方式AC了这道题，但我不是很赞同这种做法，因为当你仔细想一想的时候，你会发现__还有第二种做法__
现在说第二种做法，就是可以正常AC这道题的做法
观察这道题目，你会发现这题有一点区间dp的意思，因为加括号并用乘法合并正好符合区间dp的性质，只是有一点限制，那就是区间的个数有限
怎么办？我们观察到这题的数据规模很小，那不妨再个dp的数组再加一个维度，变成这样：
\(f_{i,j,p}\)表示区间\([i,j]\)中分成\(p\)个块时，区间\([i,j]\)在合并后的最大值！
转移方程如下:
\[f_{i,j,p} = \max_{k=i}^{j-1}{\{\{\max_{q=max{\{p-(j-k),0\}}}^{\min{\{k-i,p\}}}{f_{i,k,q}*f_{k+1,j,p-q-1}} \},\{\max_{max{\{p-(j-k)+1,0\}}}^{\min{\{k-i,p\}}}{f_{i,k,q}+f_{k+1,j,p-q}}\}\}}\]PS:公式可能会有错，如果有错以下方代码为准
看公式不容易理解，代码比较直观
for(p=1;p<=m;p++) //枚举区间内的括号块的个数
for(r=p+1;r<=n;r++) //枚举区间的宽度
for(i=1;i+r-1<=n;i++){ //枚举左端点
j=i+r-1; //求出右端点
for(k=i;k最后是整个的代码
CODE
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 51
typedef long long int lli;
lli f[MAXN][MAXN][MAXN];
int nums[MAXN],sum[MAXN];
int i,j,k,m,n,r,t,p,q;
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("bigexp.in","r",stdin);
freopen("bigexp.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",nums+i);
}
sum[0]=0;
for(i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+nums[i];
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=i;j<=n;j++) f[i][j][0]=sum[j]-sum[i-1];
for(p=1;p<=m;p++){
for(r=p+1;r<=n;r++){
for(i=1;i+r-1<=n;i++){
j=i+r-1;
for(k=i;k