对单位下三角矩阵的意外发现

背景

今天复习数值分析在对矩阵进行Doolittle分解时发现了一些有意思的事情，请容我慢慢道来…

正文

先介绍矩阵得三角分解即Doolittle分解定理：
定理 ：$A\in R^{n\times n}$，若$detA\ne 0,{\Delta }_i\ne 0(i=1,2,\dots ,n-1)$，则存在唯一的单位下三角矩阵$L$和非奇异的上三角矩阵$U$，使$$A=LU$$在本定理已知条件下可以进行 n - 1 步消去，得到一个非奇异上三角形矩阵，不妨记该矩阵为$U$，则有$$L_{n-1}^{-1}{L}_{n-2}^{-1}\dots L_2^{-1}{L}_1^{-1}=U$$
所以$$L=L_1{L}_2\dots L_{n-1}=\left[\begin{array}{ccccc}1& & & & \\ l_{21}& 1& & & \\ l_{31}& l_{32}& \ddots & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & 1& \\ l_{n1}& l_{n2}& \cdots & l_{n,n-1}& 1\end{array}\right]$$
其中$$L_i=\left[\begin{array}{cccccc}1& & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1& & & \\ & & l_{i+1,i}& 1& & \\ & & ⋮& & \ddots & \\ & & l_{n,i}& & & 1\end{array}\right]$$
而$$L_i^{-1}=\left[\begin{array}{cccccc}1& & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1& & & \\ & & -l_{i+1,i}& 1& & \\ & & ⋮& & \ddots & \\ & & -l_{n,i}& & & 1\end{array}\right]$$
通过观察，我们可以得到结论如下

结论

设$L_i,L_j\in R^{n\times n}(0<i,j\le n\wedge i\ne j)$，且满足如下形式：
$$L_k=\left[\begin{array}{cccccc}1& & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1& & & \\ & & l_{k+1,k}& 1& & \\ & & ⋮& & \ddots & \\ & & l_{n,k}& & & 1\end{array}\right]$$
则有：

• $L_i\times L_j=L_i+L_j-I$
• $L_i^{-1}=2I-L_i$

其中$I$为单位矩阵

证明

我才懒得证呢…