矩阵分块与矩阵乘法的理解

• block matrix：分块矩阵；

• 线性组合（linear combination） ⇔ 矩阵乘法（matrix multiplication）；

  • 矩阵和向量相乘，自然容易立即；
  • 矩阵和矩阵相乘，则要分块进行理解；

1. 矩阵乘法（matrix multiplication）

• 单位矩阵是正定矩阵，

  zTIz=zTz=∥z∥2

2. 从矩阵分块到矩阵乘法

考虑一个矩阵 A∈Rn×n ，试证明，

AAT=∑i=1naiaTi

注意：

• ai,i=1,…,n 是矩阵的各个列向量；
• 一个列向量乘以一个行向量，得一个矩阵，秩为 1 的矩阵；

对 A 按列分块， A=[a1,a2,…,an] ，如此处理便可得证；