SPOJ LCMSUM & bzoj 2226 & 洛谷 1891 题解（数论，推式子）

原题链接：
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bzoj
洛谷上的重题

题意简述

有$3e5$组询问，每次给定一个$n(n<=1000000)$，求：
$lcm(1,n)+lcm(2,n)...+lcm(n,n)$

数据

输入

T //询问个数
n
n
...
n//每个n

输出

ans
ans
...
ans//对于每个询问，输出答案

思路

暴力推式子。来♂
还是设$g=gcd(i,n)$，注意不是常数，是宏定义，相当于#define
$$\begin{gathered} 原式 \\ =\sum _{i=1}^{n}lcm(i,n) \\ =\sum _{i=1}^n\frac{ni}{g} \\ =n\sum _{i=1}^n\frac{i}{g} \\ （常规变形，拆lcm为gcd） \\ =n\sum _{d|n}\sum _{i=1}^n[g==d]\frac{i}{d} \\ （枚举gcd的值，去判断在哪些i中被算到） \\ =n\sum _{d|n}\sum _{i=1}^n[gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})==1]\frac{i}{d} \\ (括号里面除以d) \\ =n\sum _{d|n}\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})==1]i \\ （把i的定义换成：枚举\frac{i}{d}） \\ =n\sum _{d|n}\sum _{i=1}^d[gcd(i,d)==1]i \\ （因为我们枚举的d是n的因数，所以d和n/d应该是对称的，把n/d换成d，只是枚举顺序反了一下，不改变答案） \end{gathered}$$
现在我们要求这样一个东西：
对于任意一个$<=n$的数$x$，求$[1,x]$中所有和$x$互质的数的和。
我们能求什么呢？
$[1,x]$中所有和$x$互质的数的个数。很明显这个就是$\varphi (x)$。
珂是。。。如果变成求和。。。怎么办呢？好像不太好求。
我们回想一下高斯是怎么算$[1,100]$的和的。显然他知道$[1,100]$里面的个数（$100$个）。然后他很聪明，把序列反过来写一遍，发现和相等，这样和就是$100\ast 101/2$。
珂是我为什么要讲高斯的故事呢？因为这个和高斯很像。我们不妨设$x=20$，观察一下和$20$互质的数，把逆序，逆序+正序，都写在下面：
1 ,3 , 7, 9,11,13,17,19
19,17,13,11, 9, 7, 3, 1
20,20,20,20,20,20,20,20
发现了什么？当然，如果你把$x$代入别的验证，也是这样的。这就是我们发现的规律。

此时，两个序列的和就是$n\ast \varphi (n)$。显然，两个序列的和都是相等的。那么其中一个序列的和就是：$\frac{n\ast \varphi (n)}{2}$。也就是我们要求的那个东西。
（不过要特判一个$n=1$，此时的和为$1$，而不是$n\ast phi(n)/2=\frac{1}{2}$）

还记得我们刚刚的答案式子是什么吗？是$n\sum _{d|n}\sum _{i=1}^d[gcd(i,d)==1]i$。然后我们现在珂以把后面优化掉了，变成：
$n\sum _{d|n}\frac{d\ast \varphi (d)}{2}$
至此，我们珂以每个询问$O(\sqrt{n})$加特技，卡常数，水过这个题。
当然，我们也有更快的方法。考虑预处理。设一个数组，一开始都是$0$。枚举每个$d$和$d$的倍数，在$d$的倍数上加上$\frac{d\ast \varphi (d)}{2}$的值（特判$d=1$）。虽然这样预处理是$O(nlogn)$的（调和级数），但是每次询问就珂以$O(1)$出来了。相比刚刚那个算法，虽然多耗了一点思考，但是省了很多卡常数的力气，珂以说是优秀的三好算法了。

（三好算法）代码:

#include
#define N 1001000

using namespace std;

bool notp[N];int primes[N],phi[N];
long long f[N];

void Init()
{
    int& cnt=primes[0];
    int n=1000000;

    notp[1]=1;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!notp[i])
        {
            primes[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt and i*primes[j]<=n;j++)
        {
            int u=primes[j];
            notp[i*u]=1;
            if (i%u!=0)
            {
                phi[i*u]=phi[i]*phi[u];
            }
            else
            {
                phi[i*u]=phi[i]*u;
                break;
            }
        }
    }//预处理phi

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;i*j<=n;j++)
        {
            f[i*j]+=(i==1?1:1ll*phi[i]*i/2);
        }
    }//预处理,O(nlogn)
}

int n;

int main()
{
    Init();
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",f[n]*1ll*n);
    }
    return 0;
}
//代码是很久之前写的，好久不整理博客了。所以码风有点。。。。。。。
//虽然常数小，但也是卡了一些常数，比如我没有全部用long long

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