离散数学基础——（2）集合

集合的定义

       集合是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，一般用大写字母表示，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“确定的一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素，一般用小写字母表示。

      由一个或多个确定的元素所构成的整体叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x∈A（读作：x属于A ）；若x不是集合A的元素，则记作x∉A（读作：x不属于A ）.

集合元素的特征

集合中的元素有三个特征：

1. 确定性（集合中的元素必须是确定的）;
2. 互异性（集合中的元素互不相同）。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1 ;
3. 无序性（集合中的元素没有先后之分），如集合{3,4,5}和{3,5,4}算作同一个集合.

表示集合的方法

1、列举法：将集合中的元素全部列举出来，例 A={1,2,3,4};

2、描述法，其形式为{代表元素|满足的性质}，例 A={x|0

3、图像法：用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图;

例：集合 A 用 Venn图可表示为

4、符号法：

N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…};

N*或N+：正整数集合{1,2,3,…};

Z：整数集合{…,-1,0,1,…};

Q：有理数集合;

Q+：正有理数集合;

Q-：负有理数集合;

R：实数集合;

R+：正实数集合;

R-：负实数集合;

C：复数集合;

∅ ：空集（不含有任何元素的集合）.

5、区间：

       设a，b(a

满足不等式a

.

满足不等式 a≤x≤b 的所有实数的集合称为以a，b为端点的闭区间，记为

.

满足不等式 a＜x≤b 或 a≤x＜b 的所有实数x的集合称为以a，b为端点的半开半闭区间，分别记为

 , .

集合的关系

        设S，T是两个集合，如果 集合S 的所有元素都属于 集合T ，则称S是T的子集，记为 S⊆T 。显然，对任何集合S ，都有 S⊆S ，即任何一个集合都是它本身的子集。（符号 '⊆' ，读作包含于，表示该符号左边的集合中的元素全部是该符号右边集合的元素）

        如果 集合S 中的任何一个元素都是 集合T 中的元素，且 集合T 中的任何一个元素都是 集合S 中的元素，则我们说集合S与集合T相等，记作

S=T.

        如果  A  是  T  的一个子集，即 S⊆T  ，但在 T 中存在一个元素 x  不属于  S ， 则称  S 是 T  的一个真子集，记作 

S⫋T(或 S⊂T).

        当集合 A 不包含于集合 B，或集合 B 不包含于集合 A 时，记作

A⊈B(或 B⊉A).

        根据子集和空集的定义，我们可以得到： 空集是任何集合的子集，对于任何一个集合S，都有

∅⊆S.

集合的基本运算

交集与并集

交集

       由既属于 A 又属于 B 的相同元素组成的集合，叫做 A 与 B 的交集，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即

A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

并集

       由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的并集，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即

A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

根据交集与并集的定义，容易得，对于任何集合 A,B ，有

A∩B=B∩A, A∩B⊆A, A∩B⊆B;

A∪B=B∪A, A⊆A∪B, B⊆A∪B;

特别地，

A∩A=A, A∩∅=∅；

A∪A=A, A∪∅=A.

全集与补集

全集

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U.

补集

        设 U 是全集，A 是 U 的一个子集，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做子集 A 在 U 中的补集，记作∁UA，即

∁UA={x|x∈U,且 x∉A}.

幂集

       定义：设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂集。