【CSE 107 离散数学期末总结:】

【CSE 107 离散数学期末总结:】

一、CSE107的几个部分:

1、 归纳法(Proof by induction);

2、 反证法(Proof by contradiction);

3、 集合(Set Theory)

4、 集合间的关系(Relations)

5、 哈斯图的画法(Hasse diagraph)

6、 函数(Functions)

7、 逻辑(Logic)

8、 排列、组合(Combinatories)

二、有理数、自然数、实数、整数、素数:

1、  有理数(Rational number):

数学上,有理数是一个整数a和一个非零整数b的比,例如3/8,通则为a/b,故又称作分数。

2、  自然数(Natural number):

(1) 非负整数,包括正整数,现在也包括零。自然数也通常是指非负整数。自然数即用以计量事物的件数或表示事物次序的数,是用数字0,1,2,3,4,……所表示的数。我们常用的计数单位有:个、十、百、千、万、十万等等。

(2) 自然数与数学归纳法:

为了给出自然数的严格定义,皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理,被称为皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下:

l  1是自然数;

l  每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者,记作n+或n+1。n+1也是自然数;

l  如果m、n都是自然数,并且m+1 = n+1的后继数,那么m = n;

l  1不是任何自然数的后继者;

l  如果一些自然数的集合S具有性质:

1在S中;

若n在S中,则n+1也在S中。

那么S = N。(这条公理保证了数学归纳法的正确性,从而被称为归纳法原理)

3、  实数(Real number):

实数可以直观地看作小数(有限或无限的),它们能把数轴“填满”。实数包括所有的有理数和无理数。

4、  整数(Integer number)

正整数(例如1、2、3)、负整数(例如−1、−2、−3)与零(0)合起来统称为整数。

5、  素数(Prime number)

素数指在大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,无法被其他自然数整除的数(也可定义为只有1和本身两个因数的数)。

三、归纳法(Proof by inductive)与反证法(Proof by contradiction)

1、 数学归纳法:

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步:

(1)    证明当n = 1时命题成立。

(2)    证明如果在n = m时命题成立,那么可以推导出在n = m+1时命题也成立。(m代表任意自然数)

这种方法的原理在于:首先证明在某个起点值时命题成立,然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明,那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如:你有一列很长的直立着的多米诺骨牌,如果你可以:

(1)证明第一张骨牌会倒。

(2)证明只要任意一张骨牌倒了,那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

四、反证法(Proof by contradiction)

反证法(又称归谬法、背理法)是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证。

五、集合(Set Theory)

1、并:(The union of two sets)

A并B={x| x属于A  或  x属于B}

2、 交:(The intersection of two sets)

A交B={x|x属于A   且  x属于B}

3、~A表示对于全集U来说,不属于集合A的所有元素,即:

    ~A={x|x不属于A}

4、 A△B={x| (x属于A  且  x不属于B) 或 (x不属于A  且  x属于B)}

如: A={4,7,8}

     B={4,9,10}

则 A△B={7,8,9,10}

5、 幂集:(The power set)

The power set Pow(A) of a set A is the set of all subsets of A. In other words:

   Pow(A)={C | C 是 A 的真子集}

例如:

Let A={1,2,3}, Then:

    Pow A = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},空集}

    注: 空集是任何集合的子集

6、 The cardinality of sets:

(1)|S|表示集合S的元素个数

(2)For all n ∈ N and all sets A: If |A|=n, then |Pow(A)|=2^n

    7、Ordered pairs:

    (1)Definition:

            The Cartesian product A×B of sets A and B is the set consisting of all pairs (a,b) with a∈A and b∈B。

(3)    Let A={1,2},B={a}

Then A×B={(1,a),(2,a)}

8、位串(Bit Strings of length n):

(1)   Let B={0,1} B^n consists of all lists of zeros and ones of length n. These are called bit strings of length n.

(2)   Bit strings can be used to represent the subsets of a set.

注: 1代表元素属于集合,0代表元素不属于集合。

(3)   特征向量(The characteristic vector):

Let S={1,2,3,4,5},A={1,3,5} and B={3,4}

则 A表示为特征向量为:A=(1,0,1,0,1)

   B表示为特征向量为:B=(0,0,1,1,0) 

六、集合的关系(Relations):

1、用一个限定条件(即Relation)来限定两个集合中元素的组成关系,像是数据库中的Theta-join,组成一个新的集合,新的集合是这两个集合笛卡尔积的子集。

即: R={(s,c)∈S×C | s register for c}

2、 集合的关系可以用有向图(digraph)和矩阵(Matrix)表示。

3、 矩阵积的计算方法:

跟线性代数一样,用第一个矩阵第一行的所有数 乘以 第二个矩阵第一列的所有数,得出新矩阵的第一个数,如果乘积中有一个为T 则结果为T,如果乘积中没有T则结果为F。(T^T=T;T^F=F;F^F=F)

4、 二元关系的性质:(Properties of binary relations)

(1)   二元关系性质包括:reflexive, transitive, symmetric, antisymmetric

(2)   Reflexive: when xRx for all x∈A。 即:指向自己

Symmetric:when xRy implies yRx for x∈A。 即:互指

AntiSymmetric: when xRy and yRx implies x=y for all x∈A。 即:不能互指

Transitive: when xRy and yRz imply xRz for all x∈A。 即:传递

5、 Transitive closure:

(1)   即通过一个关系R,根据关系的传递性质,写出所有关系R*里的内部元素得出一个新的关系R*。

(2)   Transitive closure的计算方法:

先将R的所有元素写下来,再将R中所有传递中缺少的元素写下来即可得到R*。

6、 Equivalence Relations(关系的等价):

如果一个关系满足reflexive, transitive, symmetric 就说二元关系R是equivalence relation.

7、 Partial order(部分有序):

如果一个二元关系满足reflexive, transitive, antisymmetric 就说二元关系R是partial order的。

七、哈斯图的画法:

(1)以“圆圈”表示关系

(2)若x≤y,则y画在x的上层

(3)不可比的元素画在最下层

八、函数(Functions):

1、从输入集合A到可能的输出集合B的函数f(记作f:a→b),函数满足多对一,不满足一对多,且集合A中的元素不可有剩余,即对于任何一个输入值,在集合B中都要有一个相应的输出值与之对应。 集合A称为函数的定义域(Domain),集合B称为函数的陪域(Codomain),所有集合B中的输出值被称为函数的值域(The range of f)。

2、对于函数要会计算函数的反函数以及composition relation

只有两个集合满足双射函数才有反函数,即一一对应的函数才有反函数。

3、函数与等价关系(Functions and equivalence relation):

 a1,a2都属于集合A,关系a1Ra2,当f(a1)=f(a2)时,R为等价关系。

4、单射(injective),满射(surjective)和双射(bijection)

(1)单射:

不同的输入值对应着不同的输出值。

(2)满射:

陪域等于值域的函数。

(3)   双射:

即是单射有时满射的函数就是双射函数。

6、  The pigeonhole principle(抽屉原理):

如果集合A的元素个数大于集合B的元素个数,那么集合A到集合B的函数f至少会发生一次。

九、逻辑(Logic):

1、命题的逻辑包含或(or)、且(and)、非(not)

2、 Formulas of propositional logic:

Formula 由 atomic formulas , logic connective 和 brackets三部分组成。

3、 Truth value:

1表示真,0表示假

4、 Truth table(真值表):

在表中写出每个atomic formulas 和 formulas的truth value,

5、 Tautology(同义反复):

A tautology is a formula which is true under all interpretation.

6、 Contraction:

A contraction is a formula which is false under all interpretation.

十、排列、组合:

(略)

你可能感兴趣的:(离散数学)