【CSE 107 离散数学期末总结：】

【CSE 107 离散数学期末总结：】

一、CSE107的几个部分：

1、 归纳法（Proof by induction）；

2、 反证法(Proof by contradiction)；

3、 集合（Set Theory）

4、 集合间的关系（Relations）

5、 哈斯图的画法（Hasse diagraph）

6、 函数（Functions）

7、 逻辑(Logic)

8、 排列、组合（Combinatories）

二、有理数、自然数、实数、整数、素数：

1、  有理数（Rational number）：

数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。

2、  自然数（Natural number）：

(1) 非负整数，包括正整数，现在也包括零。自然数也通常是指非负整数。自然数即用以计量事物的件数或表示事物次序的数，是用数字0，1，2，3，4，……所表示的数。我们常用的计数单位有：个、十、百、千、万、十万等等。

(2) 自然数与数学归纳法：

为了给出自然数的严格定义，皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理，被称为皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

l  1是自然数；

l  每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者，记作n+或n+1。n+1也是自然数；

l  如果m、n都是自然数，并且m+1 = n+1的后继数，那么m = n；

l  1不是任何自然数的后继者；

l  如果一些自然数的集合S具有性质：

1在S中；

若n在S中，则n+1也在S中。

那么S = N。(这条公理保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理)

3、  实数（Real number）：

实数可以直观地看作小数（有限或无限的），它们能把数轴“填满”。实数包括所有的有理数和无理数。

4、  整数（Integer number）

正整数（例如1、2、3）、负整数（例如−1、−2、−3）与零（0）合起来统称为整数。

5、  素数（Prime number）

素数指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。

三、归纳法（Proof by inductive）与反证法（Proof by contradiction）

1、 数学归纳法：

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

（1）    证明当n = 1时命题成立。

（2）    证明如果在n = m时命题成立，那么可以推导出在n = m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

(1)证明第一张骨牌会倒。

(2)证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

四、反证法（Proof by contradiction）

反证法（又称归谬法、背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

五、集合（Set Theory）

1、并：（The union of two sets）

A并B={x| x属于A  或  x属于B}

2、 交：（The intersection of two sets）

A交B={x|x属于A   且  x属于B}

3、~A表示对于全集U来说，不属于集合A的所有元素，即：

    ~A={x|x不属于A}

4、 A△B={x| (x属于A  且  x不属于B) 或 （x不属于A  且  x属于B）}

如： A={4,7,8}

     B={4,9,10}

则 A△B={7,8,9,10}

5、 幂集：（The power set）

The power set Pow(A) of a set A is the set of all subsets of A. In other words:

   Pow(A)={C | C 是 A 的真子集}

例如：

Let A={1,2,3}， Then：

    Pow A = {{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，空集}

    注： 空集是任何集合的子集

6、 The cardinality of sets：

（1）|S|表示集合S的元素个数

（2）For all n ∈ N and all sets A: If |A|=n, then |Pow（A）|=2^n

    7、Ordered pairs：

    （1）Definition：

            The Cartesian product A×B of sets A and B is the set consisting of all pairs (a,b) with a∈A and b∈B。

（3）    Let A={1,2},B={a}

Then A×B={（1，a），（2,a）}

8、位串（Bit Strings of length n）：

（1）   Let B={0,1} B^n consists of all lists of zeros and ones of length n. These are called bit strings of length n.

（2）   Bit strings can be used to represent the subsets of a set.

注： 1代表元素属于集合，0代表元素不属于集合。

（3）   特征向量（The characteristic vector）:

Let S={1,2,3,4,5},A={1,3,5} and B={3,4}

则 A表示为特征向量为：A=（1,0,1,0,1）

   B表示为特征向量为：B=（0,0,1,1,0）　

六、集合的关系（Relations）：

1、用一个限定条件（即Relation）来限定两个集合中元素的组成关系，像是数据库中的Theta-join，组成一个新的集合，新的集合是这两个集合笛卡尔积的子集。

即： R={（s,c）∈S×C | s register for c}

2、 集合的关系可以用有向图（digraph）和矩阵（Matrix）表示。

3、 矩阵积的计算方法：

跟线性代数一样，用第一个矩阵第一行的所有数 乘以 第二个矩阵第一列的所有数，得出新矩阵的第一个数，如果乘积中有一个为T 则结果为T，如果乘积中没有T则结果为F。（T^T=T;T^F=F;F^F=F）

4、 二元关系的性质：（Properties of binary relations）

（1）   二元关系性质包括：reflexive, transitive, symmetric, antisymmetric

（2）   Reflexive: when xRx for all x∈A。 即：指向自己

Symmetric：when xRy implies yRx for x∈A。 即：互指

AntiSymmetric： when xRy and yRx implies x=y for all x∈A。 即：不能互指

Transitive： when xRy and yRz imply xRz for all x∈A。 即：传递

5、 Transitive closure：

（1）   即通过一个关系R，根据关系的传递性质，写出所有关系R*里的内部元素得出一个新的关系R*。

（2）   Transitive closure的计算方法：

先将R的所有元素写下来，再将R中所有传递中缺少的元素写下来即可得到R*。

6、 Equivalence Relations（关系的等价）：

如果一个关系满足reflexive, transitive, symmetric 就说二元关系R是equivalence relation.

7、 Partial order（部分有序）：

如果一个二元关系满足reflexive, transitive, antisymmetric 就说二元关系R是partial order的。

七、哈斯图的画法：

（1）以“圆圈”表示关系

（2）若x≤y，则y画在x的上层

（3）不可比的元素画在最下层

八、函数（Functions）：

1、从输入集合A到可能的输出集合B的函数f（记作f：a→b），函数满足多对一，不满足一对多，且集合A中的元素不可有剩余，即对于任何一个输入值，在集合B中都要有一个相应的输出值与之对应。 集合A称为函数的定义域（Domain），集合B称为函数的陪域（Codomain），所有集合B中的输出值被称为函数的值域（The range of f）。

2、对于函数要会计算函数的反函数以及composition relation

只有两个集合满足双射函数才有反函数，即一一对应的函数才有反函数。

3、函数与等价关系（Functions and equivalence relation）:

 a1,a2都属于集合A，关系a1Ra2，当f（a1）=f（a2）时，R为等价关系。

4、单射（injective），满射（surjective）和双射（bijection）

（1）单射：

不同的输入值对应着不同的输出值。

（2）满射：

陪域等于值域的函数。

（3）   双射：

即是单射有时满射的函数就是双射函数。

6、  The pigeonhole principle（抽屉原理）：

如果集合A的元素个数大于集合B的元素个数，那么集合A到集合B的函数f至少会发生一次。

九、逻辑（Logic）：

1、命题的逻辑包含或（or）、且（and）、非（not）

2、 Formulas of propositional logic：

Formula 由 atomic formulas ， logic connective 和 brackets三部分组成。

3、 Truth value：

1表示真，0表示假

4、 Truth table（真值表）：

在表中写出每个atomic formulas 和 formulas的truth value，

5、 Tautology（同义反复）：

A tautology is a formula which is true under all interpretation.

6、 Contraction:

A contraction is a formula which is false under all interpretation.

十、排列、组合：

（略）