图论_二部图

二部图

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二部图

定义

1. 二部图（二分图）：有无向图G=,若能将V分成V1和V2，V1和V2并集为点集V，交集为空，是的G的每一条边的两个端点，一段属于V1，另一端属于V2，记作,V1,V2为互补顶点子集
2. 若G是简单图，若V1中的每个顶点均与V2中每个顶点都相邻，则称G为完全二部图，记作$K_r,s$,其中r-|V1|,s=|V2|

定理

1. 二部图的判定：当且仅当G中没有奇数边的回路，

匹配

定义

1. 设G=是二部图，且$M\subseteq E$,若M中任意两条边都不相邻，即没有公共点，则称M为G的匹配

2. 如果M是G的匹配，且M中再加入任何一条边就不匹配了，则称M为极大匹配

3. 匹配数：极大匹配的边数，记作${\beta }_1$

4. $a_i与b_j被M匹配：(a_i,b_j)\in M$

5. $a_i$为M的饱和点：M中有边与$a_i$关联,反之为非饱和点。

6. M为完美匹配：G的每个顶点都是M饱和点

7. 完备匹配：若$G=<v_1,V_2,E>,|V_1|\le |V_2|$,M 是G中最大匹配，若$V_1$中顶点全是M饱和点，则称M为G中$V_1到V_2$的完备匹配。

8. 寻找

寻找最大匹配

1. 为了寻找最大匹配，引入交替通路和增长通路两个概念

   假设$G=<V_1,V_2,E>$是二部图，M是G的匹配，P是G中的一条通路，

   1. 如果P是由G中属于M的边和不属于M的边交替组成，则称P为G的M交替通路
   2. 如果交替通路的起始点和终点都是M的非饱和点，则称为G的M增长通路。

定理

1. 把增长通路中所有属于M的边从M中去掉，不属于M的边添加到M中，得到的新边集M1也是一个匹配，并且包含边数比M多1
2. $G = $是二部图，M为G的急打匹配的充要条件是G中不存在M增长通路

寻找最大匹配的一般方法

设G=是二部图，通常先作G的一个匹配M，再看V1中有没有M的非饱和点。如果没有，那么M肯定是最大匹配；如果有，就从这些点出发找M增长通路。由M增长通路作出一个更大的匹配。所以，在G中求最大匹配的关键是寻找M增长通路