离散数学考前复习：（一）集合、整数、序列、矩阵

离散数学考前复习：（一）集合、整数、序列、矩阵

1. 1集合

• 元素与集合直接存在属于关系或不属于关系。

• 集合的表示方法：枚举法、特征法、递归法

• 常用集合符号：
  ∅：空集
  N：自然数集合
  Z：整数集合
  N*：正整数集合
  Q：有理数集合
  R：实数集合
  C：复数集合

• 基数：若A为集合，集合A中恰有n个不同的元素，n是非负整数，则A为有限集，称n是A的基数，记为|A|=n。含有n个元素的集合为n元集。

• 幂集：设A为集合，A的全体子集构成的合集为A的幂集，记为P(A)或2^A，符号化为P(A)={x|x⊆A}。

• 集合的运算：并运算、交运算、差运算（只把AB两个集合都有的元素在A中除去）、对称差运算（⊕）

• 集合运算的主要算律：
  德摩根律
  吸收律

• 笛卡儿积：设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB。笛卡尔积的符号化为：AxB={|x∈A∧y∈B}

• 位运算：
  与（and &）相同位的两个数字都为1，则为1;若有一个不为1，则为0。
  或（or |）相同位只要一个为1即为1。
  异或（xor ^）相同位不同则为1，相同则为0。

1.2 整数

• 定理：
  if a|b且a|c，则a|(b+c)
  if a|b且a|c，且b>c，则a|(b-c)
  if a|b或a|c，则a|(bc)
  if a|b且b|c，则a|c
  if a|b且a|c，则a|(mb+nc)（m,n为整数）

• 算术基本定理：任一大于1的自然数都可分解成若干质因数的连乘积，如果不计各质因数的顺序，这种分解是唯一的。

• 推：如果n是合数，那么它必有一个小于或等于√n的素因子（素数判断）

• 最大公约数gcd and 最小公倍数lcm

• gcd（a,b）=1，a,b互素

• 最大公因子判断：
  （1）d|a且d|b
  （2）任何c，如果c|a且c|b
  则c|d

• gcd（a,b）× lcm（a,b）=a×b

• 欧几里得算法：推论：令a=qb+r，其中a,b,q,r为整数，则gcd（a,b）=gcd（b,r）

• 模运算

1.3 序列

• 增序列：对于任意n，存在Sn≤S(n+1)
• 减序列：对于任意n，存在Sn≥S(n+1)
• 子序列：一个给定序列的子序列是从给定序列中去除一些元素，而不改变其他元素之间相对位置而得到的。
• 序列求和
• 递推

1.4 矩阵

• 对角矩阵：非对角线元素为零，记为diag[a11,a22,…,a nn]
• 矩阵运算（主要是乘法）
  
• 单位矩阵：对角线为1其他全为0的对角矩阵，记为I
• Im×A=A×In=A
• A^m × A^n =A^(m+n)
• (A^m) ^n =A^mn
• 布尔矩阵：所有元素都为0或1
• 布尔积运算

（主要整理了一下细节，好吧好像有点小多，有的比较熟的就没弄上去，跪求期末不挂，还剩几章，加油ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ）