类欧几里得算法的推导

一般形式

f(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋
给定a,b,c,n，求f(a,b,c,n)
扩展：
g(a,b,c,n)=∑ni=0i⌊ai+bc⌋
h(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋2

f

首先从最简单的f开始推导。

f(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋

当a≥c或b≥c时
其实就相当于把上式的分数变成 ⌊aic+bc⌋ ，然后两个变成真分数。得到：
f(a,b,c,n)=f(a % c,b % c,c,n)+n(n+1)2⌊ac⌋+(n+1)⌊bc⌋

当a < c且b < c时
令 m=⌊an+bc⌋ ，上式可以表示为：
f(a,b,c,n)=∑ni=0∑mj=1[⌊ai+bc⌋≥j]
这个可以理解为一条直线在横坐标为0——n的整数时，越过第一象限的点数量。
继续推：
f(a,b,c,n)=∑ni=0∑m−1j=0[⌊ai+bc⌋≥j+1]
把分数去掉
f(a,b,c,n)=∑ni=0∑m−1j=0[ai≥jc+c−b]
f(a,b,c,n)=∑ni=0∑m−1j=0[ai>jc+c−b−1]
两边除掉a
f(a,b,c,n)=∑ni=0∑m−1j=0[i>jc+c−b−1a]
左边只有i，这样就舒服多了。下一步：
f(a,b,c,n)=∑m−1j=0(n−⌊jc+c−b−1a⌋)
观察到括号里面是一个等差数列和一个f形式的求和，得到：
f(a,b,c,n)=nm−f(c,c−b−1,a,m−1)
可以发现，第1、3个系数从(a,c)变成(c,a%c)。所以就叫它类欧几里得。
边界条件：a=0

g

g(a,b,c,n)=∑ni=0i⌊ai+bc⌋
首先依然是考虑a≥c或b≥c的情况。因为抽出来有一个平方和，所以得到：
g(a,b,c,n)=g(a % c,b % c,c,n)+n(n+1)(2n+1)6⌊ac⌋+n(n+1)2⌊bc⌋

当a < c且b < c时，根据f的思路，可以得到：
g(a,b,c,n)=∑ni=0i∑mj=1[⌊ai+bc⌋≥j]
g(a,b,c,n)=∑ni=0i∑m−1j=0[i>jc+c−b−1a]
对于任意一个j，为了使表达式为真，i至少为 ⌊jc+c−b−1a⌋+1 ，又因为上限为n，可以得到一个等差数列，所以：
g(a,b,c,n)=∑m−1j=0(n−⌊jc+c−b−1a⌋)(n+⌊jc+c−b−1a⌋+1)2
拆开来得到：
g(a,b,c,n)=12∑m−1j=0(n(n+1)−⌊jc+c−b−1a⌋−⌊jc+c−b−1a⌋2)
最终得到：
g(a,b,c,n)=mn(n+1)−f(c,c−b−1,a,m−1)−h(c,c−b−1,a,m−1)2

式子还和h有关，所以还要推h

h

h(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋2
当a≥c或b≥c，拆开来得到：
h(a,b,c,n)=h(a % c,b % c,c,n)+n(n+1)(2n+1)6⌊ac⌋2+(n+1)⌊bc⌋2+2⌊bc⌋f(a % c,b % c,c,n)+2⌊ac⌋g(a % c,b % c,c,n)+⌊ac⌋⌊bc⌋n(n+1)

当a < c且b < c时
为了方便，要把 n2 拆一下，得到： n2=2∗n(n+1)2−n=2∑ni=0i−n
可以得到：
h(a,b,c,n)=∑ni=02∑ai+bcj=1j−ai+bc
把两部分分开，得到：
h(a,b,c,n)=2∑m−1j=0(j+1)∑ni=0[⌊ai+bc⌋≥j+1]−f(a,b,c,n)
中间的按照上面的思路推吧，最终得到：
h(a,b,c,n)=m(m+1)n−2g(c,c−b−1,a,m−1)−2f(c,c−b−1,a,m−1)−f(a,b,c,n)

一道求g裸题的代码

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int mo=1e9+7,inv2=500000004,inv6=166666668;

typedef long long LL;

int a,b,c,l,r;

struct data
{
    int f,g,h;
};

data calc(int a,int b,int c,LL n)
{
    data tmp;
    if (!a)
    {
        tmp.f=tmp.g=tmp.h=0;
        return tmp;
    }
    if (a>=c || b>=c)
    {
        tmp=calc(a%c,b%c,c,n);
        n%=mo;
        tmp.h=(tmp.h+n*(n+1)%mo*(2*n+1)%mo*inv6%mo*(a/c)%mo*(a/c)%mo
        +(n+1)*(b/c)%mo*(b/c)%mo
        +(LL)2*(a/c)*tmp.g%mo
        +(LL)2*(b/c)*tmp.f%mo
        +n*(n+1)%mo*(a/c)%mo*(b/c))%mo;
        tmp.f=(tmp.f+n*(n+1)/2%mo*(a/c)+(n+1)*(b/c))%mo;
        tmp.g=(tmp.g+n*(n+1)%mo*(2*n+1)%mo*inv6%mo*(a/c)+n*(n+1)/2%mo*(b/c))%mo;
        return tmp;
    }
    LL m=((LL)a*n+b)/c;
    data nxt=calc(c,c-b-1,a,m-1);
    n%=mo; m%=mo;
    tmp.f=((n*m-nxt.f)%mo+mo)%mo;
    tmp.g=(LL)((n*(n+1)%mo*m-nxt.f-nxt.h)%mo+mo)*inv2%mo;
    tmp.h=((m*(m+1)%mo*n-(LL)2*(nxt.g+nxt.f)%mo-tmp.f)%mo+mo)%mo;
    return tmp;
}

int main()
{
    freopen("task.in","r",stdin); freopen("task.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&c,&b,&l,&r);
    printf("%d\n",(calc(a,b,c,r).g-calc(a,b,c,l-1).g+mo)%mo);
    return 0;
}