概率论与数理统计复习

摘自陈希孺版概率论，目录一致，也免得自己想了

事件的概率

概率是什么

主观概率

A={今天下午6时前会下雨}
特点：不是在坚实的客观理由基础上为人们所公认的

试验与事件

1. 概率论中“事件”的一般含义
   
   1. 有一个明确界定的试验
   2. 这个试验的全部可能结果，是在试验前就明确的
   3. 有一个明确的陈述

古典概率

1. 定义：

   设一个试验有 N 个等可能的结果，而事件 E 恰包含其中的 M 个结果，则事件E的概率，记为 P(E) ，定义为：
   

   P(E)=M/N

概率的统计定义

概率的公理化定义

1. 柯氏公理体系：
   
   1. 0≤P(A)≤1
   2. P(Ω)=1 ; P(∅)=0
   3. 加法公理

古典概率计算

排列组合的几个简单公式

1. n 个相异物件取 r 个( 1≤r≤n )的不同排列总数，为：
   

   Pnr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)
   
   特别的，若 n=r ,则 Prr=r!

2. n 个相异物件取 r 个( 1≤r≤n )的不同组合数，为：
   

   Cnr=Pnr/r!=n!/(r!(n−r)!)
   
   Cnr 可以记为 (nr)

3. 与二项式展开的关系
   组合数 (nr) 又称为二项式系数，因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中：
   

   (a+b)n=∑i=1n(ni)aibn−1

4. n 个相异物体分成 k 堆，各堆物件数分别为 r1,⋯,rk 的分法是：
   

   n!/(r1!⋯rk!)

案例：详见书

事件的运算、条件概率与独立性

事件的蕴含、包含及相等 略

事件的互斥与对立

1. 若两个事件 A,B 不能再同一次试验中都发生（但可以都不发生），则称它们是互斥的。如果一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的，或简称互斥的。
   互斥的一个重要情况是“对立事件”，若 A 为一事件，则事件
   
   B={A不发生}
   
   称为 A 的对立事件，多记为 A¯

事件的和（或称并）

1. 定理：
   若干个互斥事件之和的概率，等于各事件的概率之和：
   

   P(A1+A2+⋯)=P(A1)+P(A2)+⋯

2. 以 A¯ 表 A 的对立事件，则
   

   P(A¯)=1−P(A)

事件的积（或称交）、事件的差

1. 事件的积 A=A1A2⋯ 或者记为 ∏ni=1Ai
2. 事件的差 A−B=AB¯

条件概率

1.定义：
设有两事件 A,B 而 P(B)≠P(B) . 则“在给定 B 发生的条件下 A 的条件概率”记为 P(A|B) ,定义为：

P(A|B)=P(AB)/P(B)

事件的独立性，概率乘法定理

1. 无条件概率 P(A) 与其在给定 B 发生之下的条件概率 P(A|B) ，一般是有差异的。这反映了这两件事件之间存在着一些关联。例如 P(A|B)>P(A) ，这 B 的发生使 A 的可能性增大了。
2. 因此，满足：
   
   P(AB)=P(A)P(B)
   
   则称 A,B 独立
3. 概率的乘法定理：两独立事件 A,B 的积 AB 的概率 P(AB) 等于其各自概率之积 P(A)P(B)
4. 若干个独立事件的之积的概率，等于各事件概率的乘积

全概率公式与贝叶斯公式

1. 设 B1,B2,⋯ 为有限或无限个事件，它们两两互斥且在每次试验中至少发生一个。即：
   
   BiBj≠∅(不可能事件),当i≠j
   
   
   B1+B2+⋯=Ω(必然事件)
   
   有时把具有这种性质的一组事件称为一个“完备事件群”
   由此得到全概率公式：
   
   P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+⋯
2. 贝叶斯公式：
   
   P(B|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)∑jP(Bj)P(A|Bj)

3. 实际意义解释：
   对于 P(B1),P(B2),⋯ ,它是在没有进一步的信息（不知道事件 A 是否发生）的情况下，人么对于事件 B1,B2,⋯ 发生可能性大小的认识。
   现在有了新的信息（知道 A 发生），人们对于 B1,B2,⋯ 发生大小的可能性有了新的估计。从这个角度看，事件 A 是“结果”，事件 B1,B2,⋯ 是“原因”

   因此全概率公式是“由原因推结果”，而贝叶斯公式是“有结果推原因”