双目摄像头标定——相机标定(Camera calibration)推导过程

参考资料来自于UIUC的计算机视觉课件：http://slazebni.cs.illinois.edu/spring16/

一.介绍

    摄像机标定分为两部分：

    1.从世界坐标系转换到相机坐标系，由于这两个坐标系都是三维的，所以这一部分就是三维空间转到另外一个三维空间

    2.从相机坐标系转换到图像坐标系，由于图像坐标系是二维的，所以这一部分就是三维空间转到另外一个二维空间

 

二.世界坐标系转换到相机坐标系

    在上图中，C代表着相机坐标系的原点，O代表着世界坐标系的原点，我们只需要一个平移操作（平移到原点重合）和一个旋转操作（旋转到三个轴对齐）就可以将世界坐标系转换到相机坐标系，公式：,其中R表示旋转矩阵，表示x点在世界坐标系中的位置，表示相机坐标系的原点C在世界坐标系中的位置，表示x点在相机坐标系的位置。

 

三.相机坐标系转换到图像坐标系

    在上图中，C是相机中心，p为图像中心，相机坐标系和图像坐标系的Z轴在一条线上。将上图进行简单的投影，我们可以得到下图，其中f为相机的焦距，这里就有一个等比列对称关系，当把相机坐标系一点（X，Y，Z）投影到图像坐标系中的点(x,y),就可以通过x=f*X/Z，y=f*Y/Z来计算出来。

    通过上面的转换，只能把相机坐标系转换和像平面坐标系转换到同一个平面下，如下图所示，因此还需要一个平移操作，p在像平面坐标系的位置为（px，py），可以得到最终的变换公式：x=f*X/Z +px，y=f*Y/Z+py

    上面的公式推导完了，但没具体看到我们所需要的相机内参K和投影矩阵P，那么就接着把上面的公式进行变换：

公式中K为：,P为

    推导到现在，有没有发现一个问题，相机坐标系和图像坐标系的衡量单位是一样的吗？相机坐标系是以m为单位，图像坐标系中是以多少个像素点为单位。假设mx为在水平方向的1m所包含像素点个数，my为在竖直方向的1m所包含像素点个数，那么K就更新为：，其中fx、fy、cx和cy就是相机内参数矩阵得到的四个参数，可以参见我上一篇博客：vs2015 + opencv3 双目摄像头标定（C++实现）

 

四.世界坐标系转换到图像坐标

    在第二节中，我们得到世界坐标系转换到相机坐标系公式：，为了方便公式之间的转换，我们也把它用矩阵形式来表示：

    在第三节中，我们得到相机坐标系转换到图像坐标系的投影矩阵P：

    那么综合起来，世界坐标系转换到图像坐标的公式为：

    最终得到的P为：，其中t为。总结一下，K为相机内参，是一个固有属性；R和t都为相机外参，其中R为旋转矩阵，t为平移向量。