【剑指offer刷题】JZ7：斐波那契数列

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该文章只是用来记录一下刷题过程，本文的记录和解答用的Java语言。在刷到这道题之前，在帅地的《程序员内功修炼》中看到过对应的题，对刷这道题启发很大，很棒的一个博主，推荐关注其公众号：帅地玩编程。

1、题目分析

1.1 题目描述与理解

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0，第1项是1）。
n<=39

斐波那契数列：0-1-1-2-3-5-8-13-21……（本题是从第0项开始算起，第0项为0）
Fn = Fn-1 + Fn-2；

1.2 解法分析

• 递归
  看到斐波那契数列的递推公式，很容易可以想到递归的方法，递归公式：Fn = Fn-1 + Fn-2；递归终止条件就是F0 = 0，F1 = 1；
  时间复杂度：O(2^n)；
  空间复杂度：递归栈的空间；
• 空间换时间
  上述递归的方法，时间复杂度较高的主要原因如下图所示：
  
  以图中计算F4为例，递归计算过程中，F2是被重复计算了的，因此，在n越来越大时，重复计算量呈2的指数级别上升。
  也就是说递归方法时间复杂度高的主要原因是重复计算，那么容易想到，我们可以建一个数组result，result[n]代表斐波那契数列的第n项值，因此：
  result[0] = 0；result[1] = 1；result[n] = result[n-1] + result[n-2]，可以得到斐波那契数列的每一项值，最终返回result[n]即为所求结果。
  时间复杂度为：O(n)；
  空间复杂度为：O(n)；
• 动态规划
  题目只是要求出斐波那契数列的第n项值，而不需要求出其每一项的值，而从公式Fn = Fn-1 + Fn-2可以看出，第n项的值只和其前两项有关，因此没必要建立一个数组，把斐波那契数列的所有值都保留下来，只需要3个变量分别纪录结果值result，和前两项的值first、second即可，并在循环的过程中，不断更新3者即可：

	result = first + second;
	second = first;
	first = result;

也有代码更简洁的方法，只用两个变量记录前一个值last和后一个值result（后一个值最终是结果）即可：

	result = result + last;
	last = result - last;
	//相当于result是相邻两者之和，last是result没更新之前的值

但是我个人感觉，2个变量和3个变量之间对于时间、空间的消耗并没有本质区别，而用3个变量更容易简单明了的理解代码。
时间复杂度为：O(n)；
空间复杂度为：O(1)；

下面分别给出三种方法的代码实现。

2、代码实现

作为学习，最好看了上面的思路后，自己去实现代码，学习效果更好。

2.1 递归

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if (n == 0 || n == 1){
            return n;
        }
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
}

2.2 空间换时间

import java.util.*;
public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if (n == 0 || n == 1){
            return n;
        }
        int[] result = new int[40];
        result[0] = 0;
        result[1] = 1;
        for (int i = 2; i<=n; i++){
            result[i] = result[i-1] + result[i-2];
        }
        return result[n];
    }
}

2.3 动态规划

import java.util.*;
public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if (n == 0 || n == 1){
            return n;
        }
        int first = 1;
        int second = 0;
        int result = first + second;
        while (n-->1){
            result = first + second;
            second = first;
            first = result;
        }
        return result;
    }
}