POJ - 1061 青蛙的约会 解同余方程 扩展欧几里得

GDUT 2020寒假训练 数论 F

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题目

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

样例

input

1 2 3 4 5

output
4

思路

先按照题意，设 $t$ 秒后能相遇，那么列出同余方程$$x+mt\equiv y+nt(modl)$$合并同类项后有$$(n-m)t\equiv (x-y)(modl)$$那么就得到了形如$ax\equiv b(modm)$的同余方程。最后，我们的目的是解出 $t$

扩展欧几里得
回顾一下，扩展欧几里得可以解$ax+by=gcd(a,b)$的方程，那么我们把$ax\equiv b(modm)$展开写：$$ax+my=b$$那么在等式两边同时除以b再乘上gcd，化成拓展欧几里得可以解的形式$$a\ast \frac{x\ast gcd(a,m)}{b}+m\ast \frac{y\ast gcd(a,m)}{b}=gcd(a,m)$$
替换一下变量$$x^{\prime }=\frac{x\ast gcd(a,m)}{b},y^{\prime }=\frac{y\ast gcd(a,m)}{b}$$能得到$$a{x}^{\prime }+m{y}^{\prime }=gcd(a,m)$$
那么我们用$exgcd(a,m)$能解出 $x^{\prime }$ 和 $y^{\prime }$ 最后再逆代换$$x=\frac{x^{\prime }\ast b}{gcd(a,m)},y=\frac{y^{\prime }\ast b}{gcd(a,m)}$$可以解出原方程的一组特解。那么实际上通解为$$x=\frac{x^{\prime }\ast b}{gcd(a,m)}+k\frac{m}{gcd(a,m)}$$$$y=\frac{y^{\prime }\ast b}{gcd(a,m)}+k\frac{a}{gcd(a,m)}$$
k取任意整数。
那么在这道题中，$(n-m)$是$a$，$(x-y)$是$b$,$l$是$m$
解一下$exgcd((n-m),l,t,k)$,k是无关答案的变量，t是该不定方程的特解，然后再反代换 $t=t\ast \frac{x-y}{gcd((n-m,l)}$，最后再将t控制在正整数的范围内$t=(t+\frac{l}{gcd((n-m,l)})\%\frac{l}{gcd((n-m,l)}$就可以啦

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	long long d=exgcd(b,a%b,x,y);
	long long temp=x;
	x=y;
	y=temp-(a/b)*y;
	return d;
}
int main()
{
	long long x,y,m,n,l;
	cin>>x>>y>>m>>n>>l;
	long long ans,k,d;
	d=exgcd(n-m,l,ans,k);
	if((y-x)%d!=0)
	{
		cout<<"Impossible"<<endl;
		return 0;
	}
	ans=((ans*(x-y)/d)%(l/d)+(l/d))%(l/d);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}