离散数学——数学结构

封闭性（closure）

封闭性，即闭包 (数学)。数学中，若对某个集合的成员进行一种运算，生成的仍然是这个集合的成员，则该集合被称为在这个运算下闭合。
例子：
5*5的矩阵关于加法和乘法关系是闭包的，因为两个 5 + 5 矩阵的总和是另一个 5 *5 矩阵。（乘法同理）

奇数的加法，乘法关系就不具备闭包关系。

二元运算（Binary operation）

二元运算(Binary operation)作用于两个对象的运算。
作用于一个对象的运算称为一元运算（unary operation）
例子：
集交集（set intersection）是二进制操作，因为它组合了两个集来生成新集
取逆（transpose）是一个一元运算。

交换性（Commutative）

如果，对象的顺序不影响二进制操作的结果，则说该操作是交换的。

例子：
普通矩阵乘法不是交换运算

布尔矩阵的联接和相遇是交换操作

结合性（Associative）

定义：

分配（distributive property）

定义：

德.摩根律（De Morgan‘s laws）

定义：

运算中的单位元（Identity）

单位元(英文常写作Identity Element，即IE)是集合里的一种特别的元，与该集合里的运算（可理解为实数里的*，但并不局限于）有关。当它和其他元素结合时，并不会改变那些元素。也叫幺元（么元）。

一个运算中的单位元是唯一的

设 (S,)为一带有一二元运算 的集合S（称之为原群），则S内的一元素e被称为左单位元若对所有在S内的a而言，e*a=a；

举例：
对应于加法的单位元称之为加法单位元（通常被标为0），而对应于乘法的单位元则称之为乘法单位元（通常被标为1）。这一区分大多被用在有两个二元运算的集合上，比如环。

证明一个运算中的单位元是唯一的：
假设存在另一个单位元 i
则有：
又因为e也是单位元
则有：

因此e=i；

矩阵中的单位元

对于一个n阶矩阵，对角矩阵（I_n）是其关于乘法的单位元，而零矩阵（zero matrix）是其关于加法的单位元。

逆元（Inverse）

如果在一个二元运算中两个对象的运算结果是该运算的单位元，那么就认为这两个对象互为逆元。

如果运算关系满足结合律，那么x有的逆元是唯一的。

证明：

举例：
对于一个n阶矩阵每一个矩阵A=[a_ij]对于矩阵的加法和减法都有逆元-A=[-a_ij];
对于一个n阶矩阵只有矩阵全单位矩阵E对于矩阵的乘法和除法有-E；

二元运算的满足条件

1. 二元运算在集合A中必须处处定义，满足
   
2. 必须满足：
   1.函数在集合A中的运算结果还包含在A中
   2.每个有序的对仅分配一个 A 元素（只有一个运算结果，且该结果在A集合中）
   （即定义在集合A中的关系必须是封闭的）
   举例：
   1.定义在整数集合内的加法运算是二元运算
   (运算结果都是整数)
   2.定义在实数集合的除法运算不是二元运算
   (3/0在实数集合中没有定义)
   3.定义在正整数集合内的减法运算不是二元运算
   (2-5的结果不属于正整数集合)

运算表

如果A是一个有限集合，我们可以用一个运算表定义一个二元运算。

如果集合A={a，b}，在集合A中可以定义多少中二元运算？
一共有2⁴个运算关系

二元运算的性质

1. 可交换的(Commutative)
   真值表关于对角线对称
2. 可结合的(Associative)
3. 幂等的(Idempotent)
   aa=a;
   解释：设S为一具有作用于其自身的二元运算的集合，则S的元素s称为幂等的(相对于)当
   s s = s.
   特别的是，任一单位元都是幂等的。若S的所有元素都是幂等的话，则其二元运算被称做是幂等的。例如，联集和交集的运算便都是幂等的(aUa=a…)(注意s是一个集合，有点像传递关系的Rⁿ=R)