二分图定理及常见模型

判二分图

无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。

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二分图最大匹配

定义：匹配是图中一些边的集合，且集合中任意两条边都没有公共点，所有的匹配中，边数最多的就是最大匹配。如果所有点都是匹配点，则称这个匹配为完美匹配。
算法：用匈牙利算法可以在O(V*E)的复杂度内求出二分图的最大匹配。

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二分图最小顶点覆盖

定义：点覆盖是图中一些点的集合，且对于图中所有的边，至少有一个端点属于点覆盖，点数最小的覆盖就是最小点覆盖。
定理：最小点覆盖=最大匹配。

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二分图最小边覆盖（最小路径覆盖数）

定义：边覆盖是图中一些边的集合，且对于图中所有的点，至少有一条集合中的边与其相关联，边数最小的覆盖就是最小边覆盖。
定理：最小边覆盖=图中点的个数-最大匹配。

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二分图最大独立集

定义：独立集是图中一些点的集合，且图中任意两点之间都不存在边，点数最大的就是最大独立集。
定理：最大独立集=图中点的个数-最大匹配。

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有向无环图最小不相交路径覆盖

定义：用最少的不相交路径覆盖所有顶点。
定理：把原图中的每个点V拆成Vx和Vy，如果有一条有向边A->B，那么就加边Ax-By。这样就得到了一个二分图，最小路径覆盖=原图的节点数-新图最大匹配。

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有向无环图最小可相交路径覆盖

定义：用最小的可相交路径覆盖所有顶点。
算法：先用floyd求出原图的传递闭包，即如果a到b有路，那么就加边a->b。然后就转化成了最小不相交路径覆盖问题。

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二分图带权最大匹配(最佳匹配)

定义：每个边都有一组权值，边权之和最大的匹配就是带权最大匹配。
算法：KM算法，复杂度为O（V^3）