gdfzoj #549 Homework of Politics（SG函数+快速幂）

原题链接：http://www.gdfzoj.com/oj/contest/125/problems/3
标签：SG函数，快速幂
Problem 549: Homework of Politics
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Problem Description
在政治课之后，老师给学生布置了一个家庭作业。
但是，Maple和TMK都不想做作业。
所以他们决定玩一个游戏，输的人要做他们的作业。
这个游戏就是这样的。
Maple首先从[1，n]中选择一个或多个数字，他可以选择所有数字，但每个数字最多可以被选出一次。
我们认为Maple选择了m个数字，即a1，a2，…，am。
然后他们会找到m堆石头，对于第i堆石头，有ai块石头。
然后，Maple和TMK将轮流玩游戏，Maple先手。
在每一次操作，操作的人应该选择一堆石头，并从这个堆里取一块或多块石头。
而且有一个限制条件，设你选择的这堆石子的取之前的个数为N个，取完后的个数为M个，需要满足N%M==0,M!=0
不能做任何事情的人都会输掉游戏。
现在，Maple想知道他可以从[1，n]中选择多少种方式，能确保他赢得比赛。
Input
一行包含一个整数n
对于30%的数据,1<=n<=100
对于50%的数据,1<=n<=10000
对于100%的数据，1<=n<=1000000
Output
一行包含一个整数对 1000000007 取模
Sample Input
8
Sample Output
192

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所以说，这道题一看就知道是一个结论题。首先我们可以模拟一下求SG函数：

x	SG(x)
0	0
1	1
2	1
3	1
4	2
5	1
6	2
7	1
8	3

我们可以发现：

1. SG(x)=将x质因数分解的指数的和
2. SG函数的值是连续的
3. SG(i)(0<=i<=x) 的值域是 [0,log2x] （想一想，为什么）

考虑到 ∑ni=0Cin=2n−1 ，所以就能够得到公式，用一个快速幂就可以解决。
注意一点，当输入1是要特判输出0，不然会wa。

#include
#define ha 1000000007
typedef long long ll;
ll n,t1,t2;
inline ll power(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=ans*a%ha; b>>=1; a=(a*a)%ha;
    }
    return ans;
}
inline ll log_(ll x)
{
    ll ans=0;
    while (x^1) {ans++;x>>=1;}
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    if (n==1) {printf("0"); return 0;}
    t1=log_(n); t2=log_(t1);
    printf("%lld",power(2,n-t2-1)*(power(2,t2+1)-1)%ha);
    return 0;
}