从"孙子算经"到"中国剩余定理"

中国剩余定理中间涉及一个重要观念：互质；

首先来看《孙子算经》卷下第二十六问：今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何？

转换为数学语言即是（理解其中的文言，三、三数之，不表示 /32 ，而是三个三个地，应当是 /3 ）：

x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7)⇓x?

《孙子算经》给出的答案是23。当然这个问题还有其他解，由于 105=3×5×7 ，所以 23+105n 也能满足要求。除此之外，还有别的解吗？没有了。

事实上（中国剩余定理的内容），不管物体总数除以3的余数，除以5的余数以及除以7（3、5、7互质）的余数分别为多少？在0到104（ 3×5×7−1 ）当中总存在唯一解，在此解（特解）的基础上再加上105的整数倍之后，可以得到其他所有的正整数解。这正是中国剩余定理：给出 m 个两两互质（ 3,5,7,m=3 ）的整数，它们的乘积为 P （ P=3×5×7=105 ），假设有一个未知数 M （ M=23 ），如果我们已知 M 分别除以这 M 个数所得的余数，那么在0到 P−1 的范围内，我们可以唯一地确定这个 M 。这可以看做是 M 的一个特解，其他所有满足要求的 M ，则正好是那些除以 P 之后余数等于这个特解的数（ x≡M(modP)⇒x=nP+M ）

我们回到《孙子算经》，来求解“今有物，不知其数”。根据中国剩余定理，由于除数3,5,7两两互质，因而解在0-104之间，且解唯一。我们求解的基本思路就是，依次找出满足每个条件，但是又不会破坏掉其他条件的数。

• 我们首先要寻找一个数，它既是5的倍数又是7的倍数，但同时除以3正好余2，也即 35⋅xmod3=2 ，根据 扩展欧几里得算法及其应用 一文的算法，我们可轻易对之求解，解得 x=1 ，也即该数为 35⋅x=35 ，

• 再来看第二个条件，寻找这么一个数，它既是3的倍数，又是7的倍数，同时除以5余3，也即 21⋅xmod5=3 ，此时解得， x=3 ，也即 21⋅x=63

• 同理对于第三个条件， 15⋅xmod7=2 ，解得 x=2 ， 15⋅x=30

现在如果我们把 35,63,30 这三个数加在一起（得128）会怎样？它将同时满足题目中的三个条件。为了得一个0-104之间的解，我们在128的基础上减去 3×5×7=105 ，正好得到《孙子算经》当中的答案，23.

这是我们给出求解的 python 代码（因为涉及 a⋅xmodn=b 的求解，同样地我们也需给出扩展欧几里得算法的实现）：

from operator import mul
from functools import reduce

def ext_euclid(a, b):
            # ax + by = gcd(a, b)
    if b == 0:
        return (a, 1, 0)
    d, x, y = ext_euclid(b, a%b)
    return (d, y, x-a//b*y)

def mod_linear_equation(a, b, c):
    d, x, y = ext_euclid(a, b)
    if c%d:
        raise 'no solution'
    return x*(c//d)%b

def chinese_remainer(l1, l2):
            # l1, l2 均为数组
            # 分别表示除数，和余数
    s = 0
    P = reduce(mul, l1)
    for i in range(len(l1)):
        t = P//l1[i]
        s += mod_linear_equation(t, l1[i], l2[i])*t
    return s%P

if __name__ == '__main__':
    print(chinese_remainer([3, 5, 7], [2, 3, 3]))
                    # 23