HDU 6427 Problem B. Beads（polya+数论+素因子分解Pollard-rho）
Description
用 m m 种颜色给一串长度为 n n 的项链染色，旋转和翻转视作一种方案，且颜色平移也视为一种方案，问染色方案数
Input
第一行一整数 T T 表示用例组数，每组用例输入两个整数 n,m n , m
(1≤T≤30,3≤n≤1018,2≤m≤1018,n,m/|998244353) ( 1 ≤ T ≤ 30 , 3 ≤ n ≤ 10 18 , 2 ≤ m ≤ 10 18 , n , m ⧸ | 998244353 )
Output
输出染色方案数，结果模 998244353 998244353
Sample Input
5
3 2
4 2
8 5
9 5
2333 333
Sample Output
2
4
5079
22017
544780894
Solution
polya p o l y a ，变换群大小为 2nm 2 n m ，对于旋转和颜色平移的 nm n m 个变换，若一个染色方案能够在颜色平移为 g g （即 1 1 颜色变成 g g 颜色），旋转平移为 d d （即 1 1 位置移动到 d d 位置）后不变，那么从 1 1 走回 1 1 的这 ngcd(d,n) n g c d ( d , n ) 个位置，其颜色必然要整数次从 1 1 变成 1 1 ，而 1 1 颜色变回 1 1 颜色至少需要 mgcd(g,m) m g c d ( g , m ) 次，故这 nm n m 个变换下不变的染色方案数为
对于翻转和颜色平移的 nm n m 个变换
1. n n 为奇数，那么翻转轴为一个位置和一个中点构成，此时该位置颜色不能变化，故颜色变换只能为恒同，在翻转下不变的染色方案数为 n⋅mn+12 n ⋅ m n + 1 2
2. n n 为偶数，那么翻转轴有两种，第一种是连接两个位置，此时这两个位置颜色也不能变换，颜色变化只能为恒同，在该类变换下不变的染色方案数为 n2⋅mn2+1 n 2 ⋅ m n 2 + 1 ；第二种是连接两个中点，此时若 m m 为偶数，那么此时颜色变换可以为恒同也可以为颜色平移 m2 m 2 ，若 m m 为奇数则颜色变换只能恒同，故在该类变换下不变的染色方案数为 gcd(2,m)⋅n2⋅mn2 g c d ( 2 , m ) ⋅ n 2 ⋅ m n 2
累加以上三个值之后除以 2nm 2 n m 即可，注意 n n 比较大所以要用 Pollard_rho P o l l a r d _ r h o 算法分解质因数
Code
#includeint>P;
#define maxn 200001
#define mod 998244353
int mul(int x,int y)
{
ll z=1ll*x*y;
return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
x+=y;
if(x>=mod)x-=mod;
return x;
}
int Pow(ll x,ll y)
{
x%=mod,y%=(mod-1);
int ans=1;
while(y)
{
if(y&1)ans=mul(ans,x);
x=mul(x,x);
y>>=1;
}
return ans;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll Mul(ll a,ll b,ll c)
{
return (a*b-(ll)(a/(ld)c*b+1e-3)*c+c)%c;
}
ll Pow(ll a,ll b,ll c)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1)ans=Mul(ans,a,c);
a=Mul(a,a,c);
b>>=1;
}
return ans;
}
int cnt=12,prime[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
bool isprime(ll x)
{
if(x==2)return 1;
if(x==1||!(x&1))return 0;
ll k=x-1,t=0;
for(;!(k&1);k>>=1)t++;
for(int i=0;ifor(int j=0;jif(g0==1&&g!=1&&g!=x-1)return 0;
g=g0;
}
if(g!=1)return 0;
}
return 1;
}
vectorint temp=1;
while(i1&&pf[i]==pf[i+1])i++,temp++;
fact.push_back(P(pf[i],temp));
}
}
int T,ans;
ll n,m;
void dfs(int pos,ll d,ll phi)
{
if(pos==fact.size())
{
ans=add(ans,mul(mul(phi%mod,Pow(m,n/d)),gcd(d,m)%mod));
return ;
}
dfs(pos+1,d,phi);
ll x=fact[pos].first;
d*=x,phi*=x-1;
for(int i=1;i<=fact[pos].second;i++)
{
dfs(pos+1,d,phi);
d*=x,phi*=x;
}
}
int main()
{
srand(time(0));
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
Deal(n);
ans=0;
if(n&1)ans=mul(n%mod,Pow(m,n/2+1));
else
{
ans=mul(n/2%mod,Pow(m,n/2+1));
ans=add(ans,mul(mul(gcd(m,2),n/2%mod),Pow(m,n/2)));
}
dfs(0,1,1);
ans=mul(ans,Pow(mul(2,mul(n%mod,m%mod)),mod-2));
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}