矩阵论-集合与映射，线性空间及其性质
线性空间与线性变换
- 综述
- 1.1 线性空间
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- 1.1.1 集合与映射
- 1.1.2 线性空间及其性质
综述
本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记，参考数目《矩阵论》–张凯院；整个文章的整理体系参照行书过程。
1.1 线性空间
1.1.1 集合与映射
1.集合：将很多东西放在一块，构成一个整体；这个整体就是一个集合。组成集合的单个个体称为集合的元素。构成同一集合的元素一般具有某些共同的性质，将其放在一块便于统一研究。例如：由偶数组成的集合，偶数集。集合一般用大写字母表示，如：A,B,C，S；集合中元素用小写字母表示，如：a,b,c。集合与元素的关系为：属于（ ∈ \in ∈）,不属于（ ∉ \notin ∈/）
2.子集合：由一个集合（记为：S）的部分或全部元素构成的新集合称为原来集合的子集（记为：S1），记为：S1 ⊂ \subset ⊂S2.
3.两个集合相等： 两个集合具有完全相同的元素，那么，就称这两个集合完全相等。显然：
S 1 ⊂ S 2 a n d S 2 ⊂ S 1 = > S 2 S1\subset S2 and S2\subset S1=>S2 S1⊂S2andS2⊂S1=>S2
此条在此后证明两个集合相等的时会经常被用到。
4.集合的运算:
-------------- 交集：同时属于两个集合的元素构成的集合。
---------------并集：两个集合的元素放在一块并刨去重复的元素。剩余元素构成的集合。
---------------和集：针对数集而言： S 1 + S 2 = { x + y ∣ x ∈ S 1 , y ∈ S 2 } S1+S2=\{x+y|x \in S1 ,y \in S2\} S1+S2={ x+y∣x∈S1,y∈S2}
5数域: 某些数集（含非零的数），如果其中任意两个数的的和、差、积、商（除数不为0）的结果仍然属于该集合（该集合关于四则运算封闭），那么该数集称为数域。如实数集 R对四则运算封闭，可以构成一个数域，称为实数域
** 6.集合间映射：** 有一个法则 σ : S − > S ′ \sigma :S->S' σ:S−>S′，它使得S中的每一个元a都有S’中一个确定的元素a’与之对应,这个法则就定义了一个映射，记为：
σ ( a ) = a ′ \sigma (a)=a' σ(a)=a′
自身到自身色映射也可以称为一个变换。
1.1.2 线性空间及其性质
1.线性空间： 非空的集合V,集合中元素满足加法封闭，且该加法满足结合律、交换律、存在零元、存在负元。外加一个数域K，集合中的元素与数域中的数之间的数乘对集合V封闭，且该数乘满足数因子分配率，元素分配率、数因子结合律、存在单位1，那么称V为K上的线性空间（或者向量空间）。
定理：线性空间中有唯一的零元素，且任何元素的负元素唯一。（唯一性的证明：反证法，设有两个不同的0元素，推导两个零元素相等，假设不成立，唯一性得证）
2.线性相关与线性无关：
线性空间V中的一个元素 x x x，可以由空间中m个元素 x 1 , x 2 . . . x m x_1,x_2...x_m x1,x2...xm以数乘加和的形式表示：
x = c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c m x m x=c_1x_1+c_2x_2+...+c_mx_m x=c1x1+c2x2+...+cmxm
则称 x x x可以由 x 1 , x 2 . . . x m x_1,x_2...x_m x1,x2...xm 线性表出。
如果0元素的线性表出系数不全为0，就称 x 1 , x 2 . . . x m x_1,x_2...x_m x1,x2...xm 线性相关；
如果0元素的线性表出系数全为0，就称 x 1 , x 2 . . . x m x_1,x_2...x_m x1,x2...xm 线性无关；
定义： 线性空间v中线性无关向量组所含的最大向量个数称为这个线性空间V的 维数。例如： R n ∗ n R^{n*n} Rn∗n是R上的 n 2 n^2 n2维的线性空间，因为 R n ∗ n R^{n*n} Rn∗n中任意一元素A可以表示为：
A = ( a i j ) n ∗ n = ∑ i , j = 1 n a i j E i j A=(a_{ij})_{n*n}=\sum_{i,j=1}^na_{ij}E_{ij} A=(aij)n∗n=i,j=1∑naijEij
其 n 2 个 E i j n^2个E_{ij} n2个Eij线性无关，所以： d i m R n ∗ n = n 2 dimR^{n*n}=n^2 dimRn∗n=n2