同余
定义：设m是一个正整数，设a，b是两个整数，则ab (mod m)，当且仅当 m | (a-b)，称a, b模m同余。
换句话说，a, b模m同余当且仅当a, b用欧几里得除法除以m得到的余数相等。
同余的保运算性：设m是一个正整数，设有：
(mod m)
(mod m)，则：
(mod m)
(mod m)
同余的性质：
设m是一个正整数，设 (mod m)，如果(d, m)=1，则ab (mod m)
设m是一个正整数，设ab (mod m)，d > 0，则 (mod m)
设m是一个正整数，设ab (mod m)，如果dm，则ab (mod d)
设是k个正整数，设ab (mod ) 其中，
则ab (mod[])
剩余类
设m是一个正整数，对任意整数a，令
，则不难证明：
i.任意一个整数必然包含在一个中，
ii.的充分必要条件是：ab (mod m)
iii.与的交集非空的充分必要条件是：ab (mod m)
Notation：叫做模m的a的剩余类，一个剩余类中的任意一个数叫做该类的剩余或代表元。
完全剩余系
若是m个整数，并且其中人恶化两个数都不在同一个剩余类里，则称为模 m 的一个完全剩余系。
完全剩余系的性质：
设m是一个正整数，a是满足(a, m)=1的整数，b是任意一个整数，若集合k是遍历模m的一个完全剩余系，则ak+b也是遍历模m的一个完全剩余系。
设是两个互素的正整数，若分别遍历模的完全剩余系，则是遍历模的一个完全剩余系。
证明.
要证明是遍历模的一个完全剩余系，只需要证明中的任意两个数不同余
反证法：设存在正整数和满足：
(mod )
则由同余的性质可以得到：
(mod )
(mod )
(mod )
同理可得 (mod )
这与一个完全剩余系中的任意两个数不同余的事实相反
简化剩余系
简化剩余系就是把一个模m的完全剩余系中与m互素的数挑出来组成一个新的剩余系，称为简化剩余系。
形式化的定义就是设m是一个正整数，若是t个与m互素的正整数且两两模m不同余，则是模m的一个简化剩余系。
简化剩余系的性质：
设m是一个正整数，a是满足(a,m)=1的整数，如果k是遍历模m的一个简化剩余系，则也是遍历模m的简化剩余系
设是两个互素的正整数，如果分别遍历模和模的简化剩余系，则也是遍历模的简化剩余系
欧拉函数
设m是一个正整数，则m个整数中与m互素的整数的个数，记作，叫做欧拉函数
欧拉函数的性质：
1）显然，当m是一个素数的时候
2）设m, n是互素的两个正整数，则
3）对于素数幂有：
证明.
将划分成份长度为p的数组，则每个数组可以按照剩余系的概念等价于
而中，只有p与p不互素，那么也只有p与不互素
中与不互素的整数个数为:
欧拉定理
设m是大于1的整数，如果a是满足(a,m)=1的整数，则
证明.
设是模m的一个最小简化剩余系
也是模m的一个简化剩余系
(mod m)
(mod m)
(mod m)
又是模m的最小简化剩余系
(mod m)
(mod m)
费马小定理
设p是一个素数，则对任意整数a，有
(mod p)
证明.
i)若(a,p)1
p是素数
即a0 (mod p)
0 (mod p)
0 (mod m)
ii)若(a,p) = 1
p是素数
由欧拉定理知 (mod p)
(mod p)
(mod p)
Wilson定理
设p是一个素数，则(p-1)! -1 (mod p)
想要证明上面的定理需要先证明另一个定理：设m是一个正整数，a是满足(a,m)=1的整数，则存在唯一的整数a'，1a' 证明. 有了上述的定理后，可以开始证明Wilson定理： 证明. 问题：如果计算(mod m)其中n是一个大的整数。 首先可以通过欧拉定理将n缩小成一个小于的整数 最终 (mod m)
存在性：设是模m的一个最小简化剩余系
也是模m的一个简化剩余系
当然，模m的简化剩余系中必然存在1 (mod m)
唯一性：假设模m的最小简化剩余系中有a', a'', 1a',a''
a·a''1 (mod m)，则
a(a'-a'') 0 (mod m)
a'-a''0 (mod m)
a'a'' (mod m)
设p是一个素数，则任意1a < p，存在唯一的1a' < p
使得a·a'1 (mod p)
而a=a'的充要条件是1 (mod m)
则a=1或a=p-1
(mod m)模重复平方计算
由于n是一个大整数，所以无法直接通过欧几里得除法计算模m的余数
如果还是大到无法直接计算，那么就采用下面的方法进行计算：
将n写成一个二进制形式，即：
由科学计数法的性质可知必然等于1
令整数a=1
1.如果，则 (mod m)，否则 (mod m)
令 (mod m)
2.如果，则 (mod m)，否则 (mod m)
令 (mod m)
k.因为，所以 (mod m)