组合数取模（逆元+快速幂）

组合大发好

一般我们用杨辉三角性质

杨辉三角上的每一个数字都等于它的左上方和右上方的和（除了边界）

第n行，第m个就是，就是C(n, m) （从0开始）

 

电脑上我们就开一个数组保存，像这样

#include
const int N = 2000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m)
void init(){
    for(int i = 0; i < N; i ++){
        comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j ++){
            comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];
            comb[i][j] %= MOD;
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

（PS：大部分题目都要求求余，而且大部分都是对1e9+7这个数求余）

这种方法的复杂度是O(n^2)，有没有O(n)的做法，当然有(´・ω・`)

 

因为大部分题都有求余，所以我们大可利用逆元的原理（没求余的题目，其实你也可以把MOD自己开的大一点，这样一样可以用逆元做）

 

根据这个公式

我们需要求阶乘和逆元阶乘

 我们就用1e9+7来求余吧

 

费马小定理

a^(p-1) ≡1 (mod p)

两边同除以a

a^(p-2) ≡1/a (mod p)

数论1/a 是inv（a）

应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)

 

所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)

这个用快速幂求一下，复杂度O(logn)

 

 

 

引用其他人写的一句话

除法求模不能类似乘法，对于（A/B）mod C，直接（A mod C）/ （B mod C）是错误的；找到B的逆元b(b=B^-1);求出(A*b)modC即可；

由费马小定理：B 关于 P 的逆元为  B^(p-2);

费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。所以，a^-1*a=1=a^(p-1),所以：a^-1=a^(p-2);
数学排列组合公式：C（n，m）= n！/（m！*（n-m）！）

LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p 
    LL ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于b的逆元 
        return pow_mod(a, p-2, p);
}

 

#include  
#include  
#include  
using namespace std;  
#define LL long long  
#define G  1100000  
#define mod 1000003  
LL pri[G];  
LL ni[G],ans;  
LL pow(LL a,int b)  
{  
    LL ans=1,base=a;  
    while (b>0)  
    {  
        if (b%2==1)  
            ans=(base*ans)%mod;  
        base=(base*base)%mod;  
        b/=2;  
    }  
    return ans;  
}  
void s()   //打表 
{  
    pri[0]=1;  
    ni[0]=1;  
    for (int i=1;i