QP优化方法（凸优化问题）

QP问题为二次规划问题：$$minimize:\frac{1}{2}{x}^T{P}_{0}x+q_0^{T}x+r_0$$$$subjcetto:q_0^{T}x+r_0\le 0,i=1,2...m$$$$Ax=b$$$$P_0\in S_{+}^n,i=0,1...m,A\in R^{p\times n}$$

在无约束的情况下，最小二乘问题即二次规划QP问题：$$minimize||Ax-b|{|}_2^2$$
其解析解为A的伪逆，具体来说是其左逆。
所谓伪逆是对矩阵逆的一种推广，满足一定性质的矩阵都可以成为矩阵A的伪逆，对于欠定方程组而言，使用伪逆可以给出最小范数解，使用QR方法则只是给出无数个可行解中的一个！

对于一个A的转置矩阵$A^{\prime }$同型的矩阵X，并且满足：$AXA=A,XAX=X$，此时称矩阵X为矩阵A的伪逆，也称广义逆矩阵。

二次规划（QP）样条路径优化（参考apollo github文档)
首先明确个基本问题：1.目标函数 2.约束条件！

1.目标函数
路径$s$定义在station-lateral坐标系中，$s$的变化区间从车辆的当前位置点到默认路径的长度。
将路径$s$划分为$n$样条段$i$，每段路径$l$用一个多项式（默认5阶）来表示，每个样条段$i$都有沿着参考线的累加距离$d_i$：$$l=f_i(s)=a_{i0}+a_{i1}\ast s+a_{i2}\ast s^2+a_{i3}\ast s^3+a_{i4}\ast s^4++a_{i5}\ast s^5,(0\le s\le d_i)$$然后定义每个样条段的优化目标函数：$$cost=\sum _{i=1}^n(w_1\cdot \underset{0}{\overset{d_i}{\int }}(f_i^{\prime }{)}^2(s)ds+w_2\cdot \underset{0}{\overset{d_i}{\int }}(f_i^{\prime \prime }{)}^2(s)ds+w_3\cdot \underset{0}{\overset{d_i}{\int }}(f_i^{\prime \prime \prime }{)}^2(s)ds)$$最后，将cost函数转换为QP公式：
$$\begin{array}{rl}minimize& \frac{1}{2}\cdot x^T\cdot H\cdot x+f^T\cdot x\\ s.t.& LB\le x\le UB\\ & A_{eq}x=b_{eq}\\ & Ax\ge b\end{array}$$

2.约束条件
a) 初始点约束
b) 终点约束
c) 平滑节点约束
d) 点采样边界约束