和分析学一样,连续性是一种局部性概念。
设 f : E 1 → E 1 f:E^1 \rightarrow E^1 f:E1→E1是一个函数, x 0 ∈ E 1 x_0 \in E^1 x0∈E1。 f f f在 x 0 x_0 x0处连续用开集刻画:
若V是包含 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)的开集,则存在包含 x 0 x_0 x0的开集 U U U,使得 f ( U ) ⊂ V f(U)\subset V f(U)⊂V
设 X X X和 Y Y Y都是拓扑空间, f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y是一个映射, x ∈ X x \in X x∈X。如果对于 Y Y Y中 f ( x ) f(x) f(x)的任一(开)邻域 V V V, f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f−1(V)总是 x x x的(开)邻域,则说 f f f在 x x x处连续。
设: f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y是一个映射, A A A是 X X X的子集, x ∈ A x \in A x∈A,记 f A = f ∣ A : A → Y f_A = f|A:A \rightarrow Y fA=f∣A:A→Y是 f f f在A上的限制,则
(1) 如果 f f f在 x x x处连续,则 f A f_A fA在 x x x处也连续。
(2) 若 A A A是 x x x的邻域,则当 f A f_A fA在 x x x处连续时, f f f在 x x x也连续。
命题(2)说明了 f f f在某点 x x x处的连续性只与 f f f在 x x x附件的情形有关。
设 X X X和 Y Y Y都是拓扑空间,如果 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y在任一点 x ∈ X x \in X x∈X处都连续,则说 f f f是连续映射。
设 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y是映射,下列各条件相互等价
设 X , Y , Z X,Y,Z X,Y,Z都是拓扑空间,映射 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y在 x x x处连续, g : Y → Z g:Y \rightarrow Z g:Y→Z在 f ( x ) f(x) f(x)处连续,则复合映射 g ∘ f : X → Z g \circ f:X \rightarrow Z g∘f:X→Z在 x x x处连续。
设 Λ ⊂ 2 X \Lambda \subset 2^X Λ⊂2X是拓扑空间 X X X的子集族,称 Λ \Lambda Λ是 X X X的一个覆盖,如果 ⋃ C ∈ Λ C = X \bigcup _{C \in \Lambda}C=X ⋃C∈ΛC=X(即 ∀ x ∈ X \forall x \in X ∀x∈X至少包含在 Λ \Lambda Λ的一个成员中)。如果覆盖 Λ \Lambda Λ中的每个成员都是开(闭)集,则称 Λ \Lambda Λ为开(闭)覆盖;覆盖 Λ \Lambda Λ只包含有限个成员时,称 Λ \Lambda Λ是有限覆盖。
设{ A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An}是 X X X的一个有限闭覆盖。如果映射 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y在每个 A i A_i Ai在每个 A i A_i Ai的限制都是连续的,则 f f f是连续映射。
粘接引理是判断映射连续性的一种方法,同时也是分片构造连续映射的依据。
如果 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y是一一对应(双射),并且 f f f和 f − 1 f^{-1} f−1都是连续的,则称 f f f是一个同胚映射,或称拓扑变换,简称同胚。当存在 X X X到 Y Y Y的同胚映射时,就称 X X X和 Y Y Y同胚,记做 X ≅ Y X \cong Y X≅Y
eg1: 开区间(作为 E 1 E^1 E1的子空间)同胚于 E 1 E^1 E1
如 ( − π / 2 , π / 2 ) (-\pi/2,\pi/2) (−π/2,π/2)到 E 1 E^1 E1的同胚映射 f f f可规定为:
f ( x ) = t a n x , ∀ x ∈ ( − π / 2 , π / 2 ) f(x)=tanx, \forall x \in(-\pi/2,\pi/2) f(x)=tanx,∀x∈(−π/2,π/2)
拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念,在同胚映射下保持不变的性质叫做拓扑性质。
比如开集,就是拓扑概念。当 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y是同胚映射时,X的每个开集U的像 f ( U ) f(U) f(U)是Y的开集;而Y的开集V在 f f f下的原像是X的开集。因此开集概念在同胚映射下是保持不变的。进而由它规定的闭集、闭包、邻域、内点等概念也都是拓扑概念。而由开集或其他派生的拓扑概念来刻画的性质都是拓扑性质,如可分性,进而可以知道余有限 ( R , t f ) (R,t_f) (R,tf)和余可数 ( R , t c ) (R,t_c) (R,tc)是不同胚的(前一个可分,后一个不可分)。
(1)恒同映射 i d : X → X id: X \rightarrow X id:X→X(即 i d ( x ) = x , ∀ x ∈ X ) id(x)=x, \forall x \in X) id(x)=x,∀x∈X),是连续映射,且是一一映射。
(2)包含映射:设 A A A是X的子空间,记 i : A → X ( i ( x ) = x , ∀ x ∈ A ) i:A \rightarrow X(i(x)=x, \forall x \in A) i:A→X(i(x)=x,∀x∈A)是包含映射,则 i i i是连续映射,因 U U U是X的开集时, i − 1 ( U ) = A ⋂ U i^{-1}(U)=A\bigcap U i−1(U)=A⋂U时A的开集;当然 i i i不是一一映射。
(3)嵌入映射: 如果 f : X → Y f: X \rightarrow Y f:X→Y是单的连续映射,并且 f : X → f ( X ) f: X \rightarrow f(X) f:X→f(X)是同胚映射,就称 f : X → Y f: X \rightarrow Y f:X→Y是嵌入映射。比如,包含映射。