若尔当（Jordan）标准形介绍

并不是每个线性变换都有一组基使它在这组基下矩阵为对角形，一般线性变换通过选择基能将它的矩阵变为什么样的简单形状的矩阵，这个问题也等价于：任一方阵经过相似变换能变成什么样的标准形，下面将限制在复数域中讨论。

定义1

形式为的矩阵称为一个若尔当块，其中是复数。由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为一个若尔当形矩阵，其中为复数，有一些可以相同。

例：

都是若尔当形矩阵。

关于若尔当形矩阵的主要结果是：

定理

设是复数域上n维线性空间V的一个线性变换，则V中一定存在一组基，在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵，并且这个若尔当形矩阵除去其中的若尔当块的排列顺序外，由唯一决定，它称为的矩阵的若尔当标准形。

推论：每个n级复矩阵A一定与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外由A唯一决定，称为A的若尔当标准形。

因为若尔当形矩阵是三角矩阵，故（或A）的若尔当形中主对角线上的元素就是它的特征多项式的全部根（重根按重数计算）。