浅谈三对角线性方程组的解法

 背景

        作为一名非数学专业本科生。在大一大二学习了高等数学、线性代数等课程，对微分方程的数值求解等问题有了一些初步的认识。在本学期开设的计算机辅助几何技术基础中，我们学习了样条曲线、Bezier曲线、B样条曲线等知识。我发现许多式子的求解都会转化为三对角线性方程组的求解。故本篇文章就是我对于该问题的解决方法的一些整理，以及在我们的专业课程——CAGD中的应用，并谈谈自己的理解。

        为何要探讨这个问题，源于我们CAGD课程老师云笔记中的一个B样条曲线的例题：

        这让我想起了我们好像不止一次遇到过三对角线性方程组的问题。所以就有了这篇文章的由来。（其实我只是个搬运工）

 

三对角线性方程组(tridiagonal systems of equations)     

        三对角线性方程组可描述为以下方程组： 

         其中 ，以上方程组写成矩阵形式为，即：

         三对角线性方程组的求解采用追赶法或者Thomas算法，它是Gauss消去法在三对角线性方程组这种特殊情形下的应用，因此，主要思想还是Gauss消去法，只是会更加简单些。我们将在下面的算法详述中给出该算法的具体求解过程。 

        我们平时接触的最多的方法应该也就是追赶法了，该算法对于部分系数矩阵A是可以求解的。所以以下先给出追赶法的实现方法。

算法详述

        追赶法或者Thomas算法的具体步骤如下：

1、创建新系数和来代替原来的,公式如下：

2、改写原先的方程组如下：

(ps:小白实在不会打latex的矩阵了呜呜，在学了！)

 3、计算解向量，如下：

        以上算法得到的解向量x即为原方程的解。

        下面，我们来证明该算法的正确性，只需要证明该算法保持原方程组的形式不变。 
        首先，当时， 

        当时，

结合，只需要证明，而这已经在算法的第（3）步计算中给出，故证明完毕。

Python实现

见三对角线性方程组(tridiagonal systems of equations)的求解_山阴少年-CSDN博客_三对角方程组

个人小结

        事实上，Matlab的强大功能已经赋予我们解决任何矩阵问题的能力（毕竟是Matrix Laboratory）。在我们解决实际问题的时候，我们会因为有了许多强大的工具软件之后减少了对许多问题的思考。而在我看来，勤于思考，敢于深入研究问题，我们才能学的更多更好！

参考文献

1、三对角线性方程组(tridiagonal systems of equations)的求解_山阴少年-CSDN博客_三对角方程组

2、（这个是我老师的云笔记的一道例题）https://note.youdao.com/ynoteshare/index.html?id=cd95875775b4496be166eb077a70a0b0&type=note&_time=1639060051484