【泛函分析】 2 赋范线性空间

1  线性空间

满足加法数乘的线性运算

1. 线性包spanA：
2. 凸包coA：
   即有限凸组合组成的集合
3. 同构：是双射且
4. 线性流形:线性子空间对某个向量的平移，

 

2  赋范线性空间

 2.1  定义

1.准范数：
[1]正定性：；                                                                                                           

[2]三角不等式：；                                                                                                       

[3]偶性： ；                                                                                                                                     
[4]连续性：

2.空间：X是赋准范数空间，若X上距离，则称它为空间；特别地，完备的空间称为空间。

3.范数：
[1]正定性：；                                                                                                           

[2]三角不等式：；                                                                                                          

[3]齐次性：

4.空间：赋范线性空间；特别地， 完备的空间称为B(Banach)空间。   

 2.2   Araela-Ascoli 定理

  F是C(M)的一个子集，M是距离空间

1. 一致有界：
2. 等度连续：
3. F列紧F一致有界，等度连续.

 2.3   等价范数

1. 比强：
2. 范数等价：比强且比强

 2.4   有限维空间

1. Riesz引理：是赋范线性空间的真闭子空间，，存在，满足，且对一切，有

2. 局部列紧性：赋范线性空间E是有限维的，当且仅当E中的单位球是列紧的。

3  内积空间

 3.1  定义

1. 正定性；共轭对称性；共轭齐次性；加法等式。
2. 赋范线性空间能引入内积它的范数满足平行四边形法则
3. 完备的内积空间称为Hilbert空间

 3.2   正交与正交基  

    ：集合

    是内积空间，是的非空子集：

 [正交分解（不知道这个讲义为啥将这两部分分开）]

1.M是Hilbert空间X中的一个非空闭凸集，对于，存在唯一的，使得

2.M是Hilbert空间X中的一个闭子空间，对于，存在唯一的，使得

3.M是Hilbert空间X中的一个真闭子空间，对于，存在唯一分解，

4.，

 

 3.3  Bessel不等式

• ：；
• ；
• 是的闭线性子空间；
• 设是Hilbert空间，则。

 

Define：是X的一组基，

Bessel不等式：

Parseval等式：

 3.4  Hilbert空间的同构

同构： ，T是双射且

线性同构：同构+线性，即双射且

等距同构：线性同构+等距，即双射且且