2022-11-27 当矩形偶遇45度角

【问题】如图所示，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°，若AD=9,DC=8，则EF的长为__________.

当时，由于时间紧，只粗略地给出了几种解法。事后静下心来仔细品味此题，发现这着实是一道不折不扣的好题，涉及面广、方法多，值得推敲，现将此题的解法作以下整理：

【策略一】旋转大法

看到45°角，很自然的想到了曾经研究过的“含45°角的正方形半角模型”，如下图：

这是一个非常经典的模型，蕴含的结论多达几十条，这里选取两个最基本结论：（1）EF=BE+DF；（2）MN2=BM2+DN2.这两条结论的推导主要采用的是“旋转大法”，限于篇幅，本文不在累述，详见文后链接.

但此题却是一个矩形背景，没有等边，可能很多人开始犹豫，前方到底是“山前无路”还是“柳暗花明”，作为喜欢研究数学的小强们，让我们大胆的往前走：

解法1：（全等旋转）

（反思：笔者认为此法最为精妙，大呼过瘾，相比于其他方法计算量大大降低，但前提是，学生必须熟练掌握“定边+定角→弧”这一模型.）