变分法

变分法

变分法

变分法(calculus of variations),是处理函数的函数的数学领域,和处理数的函数的普通微积分相对。譬如,这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数:它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达:一个例子是最速降线,在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 

变分法的定理

  变分法的关键定理是欧拉拉格朗日方程。它对应于泛函临界点。在寻找函数的极大和极小值时,在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。
 
  变分法在理论物理中非常重要:在拉格朗日力学中,以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础,它是求解边界值问题的强有力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有,黎曼调和函数中使用狄利克雷原理。
 
  同样的材料可以出现在不同的标题中,例如希尔伯特空间技术,莫尔斯理论,或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面(肥皂泡)上也有很多研究工,称为Plateau问题。
 
  最优控制的理论是变分法的一个推广。
 

数学物理与变分法

  物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展,而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。
 
  物理学中的变分原理 P. de费马欧几里得确立的光的反射定律出发提出了的最小时间原理:光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律,但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律,不仅消除了早先的怀疑,而且更加坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q1,q2,…,qn,假定动能T是 q=(q1,q2,…,qn)和孭=(孭1,孭2,…,孭n)的函数,孭表示。他又假定力有位势V,V是q的函数,又假定T+V是常量,即系统无耗散,令L=T-V,称为作用量,拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程,拉格朗日建立他的运动方程,据此推出了力学的主要定律,并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。
 

费马定理

  费马原理指出:光会沿着两端点之间所需光程最短的路径前进。假设 y=f(x) 为光的路径,则光程可以下式表示:
 
    

 

其中折射率 n(x,y) 依材料特性而定。
 
  若选择  

 

 
  则A的一阶导数 (A对ε的微分)为
 
    

 

将括号中的第一项用分部积分处理,可得欧拉-拉格朗日方程
 
    

 

光线的路径可由上述的积分式而得。
 

大范围变分法

  18世纪是变分法的草创时期,建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去,建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始,希尔伯特在巴黎国际数学家大会讲演中提到的23个著名数学问题中就有三个与变分法有关,变分法的思想贯穿了R.库朗希尔伯特所著的《数学物理方法》一书。而H.M.莫尔斯的大范围变分法则是20世纪变分法发展的标志(见莫尔斯理论)。

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